Integrales Dobles Sobre Regiones Generales

Integrales dobles sobre regiones generales

Encuentre un valor para \int\int(x-3y^2)dAen donde R={(x,y)|0\leq x \leq 2\ y\ 1 \leq y \leq 2 partiendo los sub-intervalos en 2 y tomamos el centro de los intervalos como el valor que se evalúa en la función:

Integralesdobles.jpg

f(0.5,1.75) * 0.5 + f(1.5,1.75) * 0.5 + f(0.5,1.25) * 0.5 + f(1.5,1.25) * 0.5 \approx -11.89

D=\left \ {(x,y)| 0\leq y\leq 4 \right \, \frac{1}{2}y\leq x\leq \sqrt{y}

Por tanto, la expresión para V es:

V=\int \int_{D}(x^2+y^2)dA= \int_{0}^{4}\int_{\frac{1}{2}y}^{\sqrt{y}}(x^2+y^2)dx dy

= \int_{0}^{4}\left [ \frac{x^3}{3}+y^2x \right ]^x^=y1/2x=1/2y dy = \int_{0}^{4}\left ( \frac{y^3^/^2}{3}+y^5^/^2-\frac{y^3}{24}-\frac{y^3}{2} \right )dy

=\frac{2}{15}y^5^/^2+\frac{2}{7}{ \right \}y ^7^/^2-\frac{13}{96}y^4 ]^4_0= \frac{216}{35}

Calcular: \int\int \frac {1}{(x+y)^2} dA en R={(x,y)|3\leq x \leq 4 y 1 \leq y \leq 2} usando: como la función es simétrica no importa el orden de las integrales.

\int\int_{R} {} f (x,y) dxdy = \int_{4}^{3} \int {1} {2} \frac {1}{(x+y)^2} dy = (\int_{4}^{3}[\frac {-1}{(x+y)]_{1}^{2}} )dx \int_{3}^{4} ( \frac {-1}{(x+2)} + \frac {1}{x+1} )dx = ln ([\frac {x+1}{(x+2)}]_{3}^{4})

\aprox = ln \frac {25}{24}

Calcular: ye^{xy} dA en R={(x,y)|0\leq x \leq 1 y 0 \leq y \leq 1} usando: como primera integral la x.

\int\int_{R} {} f (x,y) dxdy = \int_{0}^{1} dy \int {0} {1} ye^{xy} dx = \int_{0}^{1} [ ye^{xy} ]_{0}^{1} = \int_{0}^{1} (e^y -1)dy = (e^y -y)|_{0}^{1}=(e-2)

Calcular: \int\int \frac {1}{(x+y)^2} dA en R={(x,y)|3\leq x \leq 4 y 1 \leq y \leq 2} usando: como la función es simétrica no importa el orden de las integrales.

\int\int_{R} {} f (x,y) dxdy = \int_{4}^{3} \int {1} {2} \frac {1}{(x+y)^2} dy = (\int_{4}^{3}[\frac {-1}{(x+y)]_{1}^{2}} )dx \int_{3}^{4} ( \frac {-1}{(x+2)} + \frac {1}{x+1} )dx = ln ([\frac {x+1}{(x+2)}]_{3}^{4})

\aprox = ln \frac {25}{24}

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