LAS INTEGRALES DOBLES Y EL JACOBIANO

1.- PRESENTACION

En el presente trabajo, se hace primero un resumen histórico acerca de cómo comenzó el concepto de la integral, desde el inicio de la civilización, y cómo eventualmente se fue desarrollando hasta obtener el carácter formal con el que se le conoce hoy en día. También veremos que conforme avanzaba la ciencia eran necesarias herramientas matemáticas un poco más elaboradas y complejas para dar solución a problemas relacionados con el cálculo de áreas y volúmenes que se presentaban de manera sucesiva en la vida cotidiana. Veremos, además, quiénes contribuyeron y ayudaron en la elaboración de la teoría que en este trabajo se expone que conocemos hoy en día como integrales.

Después, daremos la definición formal, los teoremas de la integral doble y las transformaciones de coordenadas mediante la matriz jacobiana como método de resolución de problemas. Finalmente veremos cómo esta herramienta matemática es utilizada en la aplicación de áreas, volúmenes y problemas físicos clásicos.

2.- DESCRIPCION HISTORICA

Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.), científico y matemático importante de la Edad Antigua, utilizó el método exhaustivo desarrollado por Eudoxo de Cnido (408 –355 a.C.), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares en una circunferencia para calcular áreas y volúmenes.

Calculó el volumen y la superficie de una esfera y de un cono y la superficie de una elipse y una parábola y expuso un método para calcular los volúmenes de revolución de segmentos de elipsoides, paraboloides e hiperboloides cortados por un plano perpendicular al eje principal.

Simon Stevin (1548 –1620) sustituyó el método exhaustivo utilizado por Arquímedes por un método directo que representaba un gran paso hacia el concepto matemático de límite.

En 1638, Galileo Galilei (1564 –1642) presentó un razonamiento que relacionaba el área bajo una curva tiempo - velocidad con la distancia.

Este razonamiento estaba apoyado en la mente de Galileo por consideraciones filosóficas que equivalían a considerar el área OAB como construida con un número infinito de unidades indivisibles como A ́B ́.

El matemático francés, Gilles Personne de Roberval (1602-1675) utilizó esencialmente el método de los indivisibles para obtener el área encerrada bajo una curva, y en particular, calculó la integral de x^m desde 0 hasta 1 y obtuvo el área bajo un arco de cicloide, un problema sobre el que Marin Mersenne (1588 –1648) había llamado su atención en 1629.

En el último cuarto del siglo XVII, Isaac Newton (1642 –1727) y Gootfried Leibnitz (1646 –1716), de manera independiente, definieron lo que hoy llamamos la derivada y la integral, mostrando que ambos conceptos eran inversos (Teorema Fundamental del Cálculo). El descubrimiento de Leibnitz fue posterior al de Newton, aunque fue el primero en publicarlo.

Johann Bernoulli (1667 –1748), por su parte, vio la integración simplemente como la operación inversa de la diferenciación y, con esta aproximación, obtuvo muchos éxitos integrando ecuaciones diferenciales. Fue el primero en escribir un curso sistemático de cálculo integral, publicado en 1742.

Posteriormente, Leonhard Euler (1707 –1783) llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual.

El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy observó que una función podía ser no derivable en un punto e incluso no continua y, sin embargo, podía tener un área bien definida. Esto le llevó a definir la integral definida como el límite-analítico, no geométrico, de las sumas integrales:

S_n=(x_1-x_0 )f(x_0 )+(x_2-x_1 )f(x_1 )+⋯+(x_n-x_(n-1) )f(x_(n-1) )

La integración fue rigurosamente formalizada por Bernhard Riemann (1826 –1866) para todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas en un intervalo acotado empleando límites. Más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no se podía aplicar la definición de Riemann, lo que dio lugar a otras definiciones de integral.

Karl Gustav Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi nació en Postdam, Prusia, Alemania, el 10 de diciembre de 1804, siendo el segundo hijo de un próspero banquero, Simón Jacobi, y de su mujer (cuyo apellido era

Lehmann). El primer maestro de Carl fue uno de sus tíos maternos, quien enseñó al muchacho las lenguas clásicas y Matemáticas.

Desde el principio Jacobi dio pruebas de poseer una "mente universal", según declaró el Rector del Instituto cuando el muchacho salió de él en 1821 para ingresar en la Universidad de Berlín. Habiendo observado que el muchacho tenía genio matemático, el maestro (Heinrich Bauer) dejó que Jacobi trabajara como quisiera, después de una prolongada reyerta en la que Jacobi se reveló, negándose a aprender la Matemática de memoria y siguiendo reglas.

Para quienes gustan de aspectos más prácticos, podemos citar la obra de Jacobi en dinámica. En este tema de fundamental importancia para la ciencia aplicada y para la física matemática, Jacobi hizo el primer significativo progreso más allá del logrado por Lagrange y Hamilton. Los lectores familiarizados con la mecánica de los cuantos recordarán el importante papel desempeñado en algunos de los aspectos de esa revolucionaria teoría por la ecuación Hamilton-Jacobi. Su obra sobre ecuaciones diferenciales inicia una nueva era. En Álgebra para mencionar una sola cosa entre muchas, Jacobi ideó la teoría de determinantes en la simple forma ahora familiar a todo el que estudie segundo curso de Álgebra.

Para la teoría de la atracción de Newton-Laplace-Lagrange, Jacobi hizo contribuciones especiales mediante sus bellas investigaciones sobre las funciones que se repiten varias veces en esa teoría y mediante aplicaciones de las funciones elípticas y abelianas a la atracción de los elipsoides. De una originalidad aun mayor es su descubrimiento de las funciones abelianas. Tales funciones surgen al invertir una integral abeliana, en la misma forma que las funciones elípticas surgen de la inversión de una integral elíptica. (Los términos técnicos fueron mencionados a principio

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