APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES E INTEGRALES TRIPLES
Enviado por Alan Vilchis • 23 de Agosto de 2018 • Apuntes • 2.148 Palabras (9 Páginas) • 3.798 Visitas
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES E INTEGRALES TRIPLES
Introducción. En la vida cotidiana podemos establecer diferentes tipos de comparaciones valiéndonos únicamente de nuestro propio juicio. Podemos decir que un cuerpo ocupa mayor espacio que otro… pero es subjetivo.
Las matemáticas como una ciencia exacta, se ocupa de todo aquello que puede ser mensurable, se ocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio, las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre de las cantidades. Durante miles de años los matemáticos han desarrollado algoritmos y modelos necesarios para dar respuesta a múltiples problemas, planteados en diferentes situaciones como: Ingeniería, economía, medio ambiente, medicina, etc.
El cálculo de vectorial o calculo multivariable es una rama de las matemáticas que estudia las funciones escalares y vectoriales de varias variables apoyándose en el cálculo infinitesimal.
LA INTEGRAL DOBLE
Definición de integral doble: Sea una región cerrada y acotada del plano .[pic 1][pic 2]
Sea una función que va del espacio vectorial una función definida en .[pic 3][pic 4][pic 5]
Entonces los pasos que conducen a la definición de integral doble son:
1) Consideramos una cuadricula que contenga a siendo rectángulos de la cuadrícula, de áreas respectivas , totalmente contenidos en [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]
2) Escogemos un punto arbitrario en para . [pic 10][pic 11][pic 12]
3) Calculamos la suma [pic 13]
4) Consideramos cuadrículas cada vez más finas que contengan a , de modo que las dimensiones de cada rectángulo tiendan a cero, y el número de rectángulos contenidos en sea cada vez mayor. Entonces definimos: [pic 14][pic 15]
[pic 16]
1
[pic 17][pic 18]
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE.
Área de una región plana.
Considérese una región plana acotada por y como se muestra en la figura 1.1. El área de está determinada por la integral definida.[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]
[pic 23]
Usando el teorema fundamental del cálculo, se puede reescribir el integrando como una integral definida. Considerando constante y se deja que varíe desde la región hasta la región se puede expresar como.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
[pic 29]
Combinando estas dos integrales, se puede expresar el área de la región como una integral doble iterada o simplemente como la integral de área de una región de una función .[pic 30][pic 31][pic 32]
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Ejemplo 1.
Utilizar una integral doble para hallar el área de la región acotada por las gráficas de y entre y [pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]
Solución: Como f y g se dan como funciones de x, es conveniente utilizar un rectángulo representativo vertical, y se puede elegir como orden de integración. Los límites exteriores de integración son . Dado que el rectángulo está limitado o acotado, superiormente por e inferiormente por se tiene.[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]
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[pic 55][pic 56]
Calcule el valor del área de la región acotada por las funciones , y las rectas x=1 y x=2[pic 57][pic 58]
1) Lo primero que debemos hacer es trazar la región de integración.
La región sombreada, es la región a la cual debemos calcular el área. [pic 59]
2) Después de trazar la región de integración debemos de establecer la integral doble.
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VOLUMEN DE UNA REGIÓN SÓLIDA
Considerese una función continua tal que para todo en una región del plano . Nos planteamos calcular el volumen de la regi´on s´olida comprendida entre la superficie dada por y el plano . Para comenzar subdividimos la región en rectángulos, quedando algunos rectangulos incompletos en el borde de . Los rectángulos (completos) que se encuentran contenidos en , forman una partición interior cuya norma está definida como la longitud diagonal más larga de los rectangulos que la constituyen. Después se elige un punto en canda rectángulo y se construye el prisma rectangular de altura , y el volumen de la región sólida se puede aproximar mediante la suma de Riemman de los volumenes de los prismas . Esta aproximación se puede mejorar subdividiendo en rectángulos cada vez más pequeños, lo que sugiere que se podría obtener el volumen exacto tomando un límite. Es decir,[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]
[pic 87]
Definición: Si está definida en una región cerrada y acotada del plano , entonces la integral doble de sobre está definida por.[pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]
[pic 93]
Siempre que el límite exista en cuyo caso es integrable sobre [pic 94][pic 95]
Ejemplo 1. Hallar el volumen de la regón sólida acotada por la superficie y los planos , y , y .[pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]
Solución.
La base de la región sólida en el plano está delimitada por las rectas , , y y puede describirse de las dos maneras siguientes, asociadas a los dos órdenes de integración posible , y . Esta descripción nos llevará al siguiente cálculo.
[pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108]
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