APLICACION DE INTEGRALES

Pregunta 1:

Usamos la fórmula del volumen generado alrededor del eje ¨x¨

Región  D = {(x,y) ∈ R2 / 1 ≤ x ≤ 2 Ʌ x/2 ≤ y ≤ x2 }

V = π ∫_1^2▒〖[ (x〗2)2 – (x/2)2 ]dx

V = π∫_1^2▒〖( x〗4 - x2/4)dx = π( - I )

V = π (( 2^5/5 - 2^3/12) - ( 1/5 - 1/12)) = π( 32/4 - 8/12 - 1/5 + 1/12)

V = π(31/5 - 7/12) = 337π/60

Pregunta 2:

Se usa la fórmula de volumen generado alrededor del eje x=k

D = { (x,y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 4 Ʌ x/2 ≤ y ≤ x2 }

El volumen generado alrededor del x= -1

V = 2 π ∫_0^4▒(x – (-1)) (x2 - x/2)dx

V = 2 π ∫_0^4▒(X+1) (X2 - X/2)dx = 2 π ∫_0^4▒(x3+ x^2/2 - x/1)dx

V = 2π [(x^4/4 + x^3/6 - x^2/4) I ]

V = 434π/3

Pregunta 3:

Usamos :

∫_1^∞▒〖f^2 (x)dx〗

 ∫_1^∞▒1/x^2 dx

I

=

Pregunta 4:

Volumen del solido generada alrededor del eje ´y´

R={ (x,y) ∈ R2 / 1 ≤ x ≤ 9 Ʌ 9/x ≤ y ≤ }

V = 2 π∫_1^9▒〖x(〖(4-√(x))〗^2 〗-9/x)dx = 1088π/15

Pregunta 5:

USAMOS : V = 2 π∫_B^A▒(x-c)f(x)dx

V = 2 π∫_1^3▒x(x + 2 – (-x2 – 4x))dx

V = 2 π∫_1^3▒x(-x2 + 5x + 2)dx

V = 2 π ∫_1^3▒.(-x3 + 5x7 + 12x)dx = 2 π(〖-x〗^4/4 + 〖5x〗^3/3 + 6x2 I )

V = 2 π( (-81)/4 + 45 + 54 + 1/4 - 5/6 – 6 ) = 482π/3

Pregunta 6:

Se usa la siguiente formula:

R = { (x,y) ∈ R2 / 2 ≤ x ≤ 4 Ʌ 0 ≤ f(x) ≤ x }

V = 2π∫_2^4▒(x-(-2))(x)dx

V = 2π∫_2^4▒(x+2)(x)dx

V = 2π [ x^3/3 + x2 I ]

V = 2π (64/3 + 16 - 8/3 – 4) = 2π ( 56/3 +12) = 194π/3

Pregunta 7:

a)Tomando el i-ésimo elemento del área perpendicular al eje x

R1 = { (x,y) ∈ R2 / 0 ≤ Y ≤ 3 Ʌ y/2 ≤ x ≤ y }

R2 = { (x,y) ∈ R2 / 3 ≤ Y ≤ 6 Ʌ y/2 ≤ x ≤ 3 }

VR1= 2π∫_0^3▒y(y - y/2)dy = 2π∫_0^3▒〖y^2/2 dy〗 = 9π

Se uso :

VR1 = 2π∫_c^d▒y(g(y)-f(y))dy

VR2 = 2π∫_3^6▒y(3 - y/2)dy = 2π(〖3y〗^2/2 - y^3/6) I

VR2 = 2π . 9 = 18π

b) Tomando el i-ésimo elemento perpendicuar al eje x

R es la región

R = { (x,y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 3 Ʌ x ≤ y ≤ 2x }

V = π∫_a^b▒〖(〖f(x)〗^2 〗-〖g(x)〗^2)dx (Corteza cilíndrica)

V = π∫_0^3▒((2x)^2-x^2 )dx = 3 π∫_0^3▒x^2 dx

V = 3π∫_0^3▒〖x^2 dx〗 = πx3 I = 27π

Pregunta 7: Longitud de Arco

a) Se aplica la fórmula L=∫_a^b▒√(2&1+〖f(x)〗^2 ) dx

Donde R = { (x,y) ∈ R2 / a ≤ x ≤ b Ʌ 0 ≤ y ≤ f(x) }

Para a: y= 2/3 〖(1+x^2)〗^(3/2) x ∈ [0,2]  y´=2/3.3/2 〖(1+x^2)〗^(1/2).2x

L = ∫_0^2▒〖√(2&1+〖4x〗^2 (1+x^2 ) ) dx〗

L = ∫_0^2▒√(2&〖4x〗^4+〖4x〗^2+1) dx

L = ∫_0^2▒√(2&〖(〖2x〗^(2+1))〗^2 ) dx = ∫_0^2▒(〖2x〗^2+1)dx

L = (〖2x〗^3/3+x) I = 18+3 = 21

b) x = 2/3 〖(y-1)〗^(3/2) de y=1 ; y=5

Se usa L = ∫_c^d▒√(2&1+〖f´(y)〗^2 ) dy

L = ∫_1^5▒√(2&1+y-1)dy = ∫_1^5▒√(2&y) dy = 2/3 y^(3/2) I

L = 2/3 (5^(3/2)-1) = 2/3(5√5-1)

c) y = 1/6 x^3+1/2x de x=1 a x=3

y´= 1/6 〖3x〗^3- 1/〖2x〗^2 = x^2/2-1/〖2x〗^2

L = ∫_1^3▒√(2&1+(x^2/2-1/〖2x〗^2 ) )dx

L = ∫_1^3▒√(2&(x^8+〖2x〗^4+1)/x^4 )dx = ∫_1^3▒(x^4+1)/x^2 dx

L = X^3/3-1/(X ) I = (9 - 1/3) – (1/3 – 1) = 26/3+ 2/3 = 28/3

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