APLICACIONES DE INTEGRALES TRIPLES

INTRODUCCIÓN

Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de tres variables f (x, y, z); tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cual diferencial (dx, dy, dz) se utilizará primero y cual después y cual al final.

Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que una doble es una generalización de una integral sencilla. Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que F es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada en el espacio de 3 dimensiones.

En este tipo de espacio los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, región, punto frontera, punto interior, región cerrada, y región cerrada acotada son definidos por extensiones de las definiciones en el espacio de dos dimensiones, con una adaptación de la terminología.

El informe tiene como objetivo general la investigación y análisis de las integrales triples y sus aplicaciones al día a día, poder resolver ejercicios que ameriten el uso de las mismas, y seguir preparándonos para ser excelentes ingenieros.

Las integrales triples Generalmente se utilizan para el cálculo de volúmenes de curvas espaciales cerradas o de cuerpos espaciales tales como esferas, elipsoides, cubos, tetraedros o combinaciones de estas superficies.

DEFINICIÓN

En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones del tipo, tal como se hizo en la sección anterior para las integrales dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo:

Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección.

Entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa.

Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la definición y el cálculo de integrales múltiples.

 Integral Triple sobre una Caja Rectangular

 Teorema de Fubini

 Integrales Triples sobre Regiones más Generales

 Propiedades de la Integral Triple

INTEGRAL TRIPLE SOBRE UNA CAJA RECTANGULAR

Sea f una función definida sobre la caja rectangular B , , donde B está definida como:

O también:

Sea P una partición del paralelepípedo B , la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones x P , y P y z P y de los intervalos [a,b], [c, d] y [r,s], respectivamente, como se muestra a continuación:

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