Aplicaciones de la integral

Instituto Tecnológico de Veracruz

Gutiérrez Enríquez José Guillermo

Otero López José Antonio

UNIDAD lll

Aplicaciones de la integral

3.1 Áreas

Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo (imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, -no como los antiguos griegos-pero de la forma mas moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:

3.1.1 Área bajo la curva

Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a,b ], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dada por:

Observemos la siguiente fig 1:

FIG 1.

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas f(x)=4 y x=−3 y x=2.

SOLUCIÓN:

1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida.

FIG 2.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

Luego el área de la región es 20 u2.

Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.

EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la curva acotada por [−5,5]

SOLUCIÓN:

1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto.

FIG 3.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la fig 3, las rectas x= −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1y A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así:[−5,5] , [−5,0] y [−0,5]. Luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por:

A = A1 + A2

3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma:

Luego el área de la región sombreada es de u2.

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones

Curvas que se cortan

Para estas regiones en particular, no se es dado los límites de integración, que serían los puntos de corte entre dos gráficas. Mas bien, para encontrarlos, basta hallar los x (o los y) para los cuales f-g. Por un momento observemos las siguientes gráficas, conservando las mismas condiciones de las definiciones anteriores: (dos funciones continuas en un intervalo cerrado, etc.) Aquí, para la primera gráfica, a y b son los puntos de corte de f (x) y g(x). En la segunda gráfica, c y d son los puntos de corte de f (y) y g(y). Ahora planteamos las definiciones correspondientes que sugieren las graficas:

Definición 1: Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [b,a] con, f(x) > g(y), el área de la región R está dada por:

Definición 2: Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [d,c] con f(y)>g(y), el área de la región R está dada por:

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región determinada por las curvas

SOLUCIÓN: En primera medida trazamos la región correspondiente:

Ahora tenemos que encontrar los límites de integración, pero en la grafica podemos decir que esos límites lo determinan los puntos de intersección de f y g. Como dijimos anteriormente, estos se hallan de la siguiente forma:

Luego x–0.2–2 son los puntos de corte de ambas funciones. Después de esto, podemos establecer la integral que nos permitirá hallar el área de la región pedida:

Luego el área de la región es u2.

Curvas que se no se cortan

Para plantear la siguiente definición, debemos de tener en cuenta las mismas condiciones de la definición planteada en el numeral 1, es decir:

Definición: Consideremos 2 funciones, f (x) y g(x) continuas en el intervalo, [b,a] de forma que f (y) > g(y). Observen la siguiente figura:

El área de la región R viene dada por:

Es razonable la definición anterior. En efecto, f (x) ≥ g(x), luego f (x) - g(x) ≥ 0, y el área de la región determinada por la anterior diferencia es mayor que cero, es decir: A≥0.

Ahora consideremos la siguiente gráfica:

Ahora f (x) y g(x) son continuas en el intervalo [d,c], con f (y) > g(y). Luego para este caso área de R viene dada por: .

Obsérvese que tanto los límites de integración y las variables involucradas Dependen ahora de “y”.

En los siguientes ejemplos, las dos curvas se intersecan, pero tomaremos regiones determinadas por intervalos que no contengan el punto (o puntos de intersección de las dos curvas).

EJEMPLO 1: Determinar el área de la región determinada por:

y las rectas

SOLUCIÓN: En primera medida tracemos la región correspondiente:

Según la definición anterior el área de la región R, viene dada por:

Al evaluar esta integral obtenemos:

Luego el área de R es 296/3 u2.

EJEMPLO 2:

Hallar el área de la región acotada por: ,

y por:

SOLUCIÓN: En primera medida, trazamos la región a la cual le vamos a hallar el área:

El área de la región R viene dada por.

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