Aplicaciones Integrales

Trabajo

El trabajo se define como la cantidad total de esfuerzo, o fuerza, que se necesita para realizar una tarea. En Física, el trabajo toma un concepto más técnico: es el producto de una fuerza ejercida sobre un objeto por la distancia que éste recorre (W = F * d), donde la fuerza es la magnitud vectorial (es decir, tiene magnitud, dirección y sentido) que modifica el estado de reposo o movimiento del objeto o cuerpo, y que es igual al producto de la masa por la aceleración de un objeto (F = m * a). Por ejemplo:

Calcule el trabajo que se requiere para elevar, desde el suelo, un bloque de 6 kg hasta una altura de 20 metros.

F = m * a = 6 kg * 9.8 m^2/s^2

W = F * d = 58.8 N * = 58.8 N * 20 m = 1,176 J

Nota: La aceleración es igual a 9.8 m^2/s^2 debido a que la aceleración del objeto debe ser de igual magnitud pero de dirección opuesta a la gravedad.

Sin embargo, esta sencilla fórmula se usa sólo cuando la fuerza ejercida es constante. Cuando la fuerza es variable, la fórmula cambia a Wi ≈ f(xi)∆x; donde Wi es el trabajo en un punto xi en el eje x, f(xi) es la fuerza es expresada en función de ese punto xi (que forma parte del intervalo [a, b]), y ∆x es el ancho del recorrido que el objeto que se desplaza desde xi-1 hasta xi y también de los subintervalos.

Usando esa ecuación, se puede aproximar el valor total del trabajo en el intervalo [a, b] de esta manera (n siendo el número de subintervalos):

W≈ ∑_(i=1)^n▒〖f(x_i) ∆x〗

Como el lado derecho de esta ecuación es una suma de Riemann, se puede concluir que el trabajo de se efectúa al mover un objeto desde a hasta b es:

W= lim┬(n→ ∞)⁡〖∑_(i=1)^n▒〖f(x_i) ∆x〗= ∫_a^b▒〖f(x) dx〗〗

Ejemplo: Una partícula se desplaza a lo largo del eje x impulsada por una fuerza que mide 10/(1 + x)2 libras en un punto a x pies del origen. Calcule el trabajo realizado al mover la partícula desde el origen a una distancia de 9 pies.

W=∫_a^b▒〖f(x) dx〗= ∫_0^9▒〖10/〖(1 + x)〗^2 dx〗=10∫_0^9▒〖1/〖(1 + x)〗^2 dx〗=10∫_1^10▒〖1/u^2 du〗

W=10(-1/10- (-9))=9 lb*pie

Valor promedio de una función

El promedio se define como la suma de valores numéricos dividida entre el número de sumandos. Cuando se trata de una cantidad finita de números, se utiliza la ecuación: ā= (a_1 +a_2 + … + a_n)/n.

Ejemplo: Calcule el promedio de las distintas medidas de una mesa; y1 = 2 m, y2 = 5m, y3 = 2.5 m.

yprom = (2 m+5 m+2.5 m)/3≈3.17 m

Al igual que en el tema anterior, no se puede usar la misma ecuación para una función. El método utilizado es el siguiente:

Para encontrar el valor promedio de una función f(x) en el intervalo [a, b], se divide el intervalo en n subintervalos de una misma longitud ∆x, que será igual a:

∆x=(b-a)/n que también se puede escribir como n=(b-a)/∆x.

Se escogen unos puntos x ̅_i…x ̅_n en subintervalos sucesivos y se calcula el promedio de sus respectivas funciones f(x ̅_i)…f(x ̅_n):

(f(x ̅_i )+⋯+f(x ̅_n))/n=(f(x ̅_i )+⋯+f(x ̅_n))/((b-a)/∆x)=1/(b-a) [f(x ̅_i )∆x+⋯+f(x ̅_n)∆x]=1/(b-a) ∑_(i=1)^n▒〖f(x ̅_i)∆x〗

Al igual que en el tema anterior, a medida que n se incrementa se tendrá el promedio de un gran número de valores poco separados, por lo que el promedio se acerca a un resultado exacto. Por lo tanto:

〖f_prom=lim┬(n→∞)〗⁡〖1/(b-a) ∑_(i=1)^n▒〖f(x ̅_i )∆x=1/(b-a) ∫_a^b▒〖f(x) dx〗〗〗

También es importante notar que para funciones continuas en [a, b], el Teorema del Valor Medio para las Integrales establece que existe un número c en [a, b] tal que:

f(c) = fprom = 1/(b-a) ∫_a^b▒〖f(x) dx〗 => ∫_a^b▒〖f(x) dx〗=f(c)(b-a)

Geométricamente:

Ejemplo: Halle el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4].

f_prom=1/(b-a) ∫_a^b▒f(x)dx==1/3 ∫_1^4▒〖(3x^2-2x)dx〗=├ 1/3 (〖3x〗^2/3-〖2x〗^2/2)┤|_1^4

f_prom=1/3 (64-16-1+1)=16

Área de una superficie de revolución

Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva respecto a una línea.

El área superficial lateral de un cilindro con radio r y altura h se define como A = 2πrh, debido a que se puede cortar el cilindro y desenrollarlo, para obtener un rectángulo de dimensiones 2πr y h. De manera similar, se puede tomar un cono circular con radio r y altura de inclinación l y, después de cortarlo a lo largo de la línea discontinua y aplanarlo, se obtiene un sector de un círculo con radio l y ángulo θ=2πr/l. El área de sector de un círculo con radio l y ángulo θ es 1/2 l^2 θ, por lo tanto A = 1/2 l^2 (2πr/l)=πrl.

Con las superficies de revolución más complicadas, se aproxima la curva original con un polígono, ya que al girarlo respecto a un eje forma una superficie más simple que se aproxima a la superficie real. Usando un límite, encontramos el valor exacto.

La superficie de aproximación mencionada consta de bandas que se forman al girar un segmento de recta respecto a un eje. Al área de la banda, que se necesita para hallar el área superficial, se obtiene: A = πr_2 (l_1+l)-πr_1 l_1=π[(r_2-r_1 ) l_1+r_2 l].

Si se hace girar la curva y = f(x) en [a, b] respecto al eje x, siendo f positiva y su derivada continua, se divide [a, b] en n subintervalos con puntos finales x0, x1,…, xn e igual amplitud ∆x, dado yi = f(xi) entonces Pi(xi, yi) yace sobre la curva. La parte de la superficie entre xi-1 y xi se aproxima al girar el segmento de recta Pi-1Pi sobre el eje x. Esto da como resultado l = |Pi-1Pi| y r = 1/2(yi-1 + yi), y el área superficial:

2π (y_(i-1)+y_i)/2 |Pi-1Pi|, pero como |Pi-1Pi| = √(1+[f'(x ̅_i)]^2 ) ∆x, donde xi es un número en [xi-1, xi]. Como f es continua, yi = f(xi) ≈ f(x ̅_i) y también yi-1 = f(x i-1) ≈ f(x ̅_i). Por eso:

2π (y_(i-1)+y_i)/2 |Pi-1Pi| ≈2π f(xi) √(1+[f'(x ̅_i)]^2 ) ∆x

Para el área de la revolución completa:

∑_(i=1)^n▒〖2π

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