Otras aplicaciones de las Integrales Definidas

1. Otras aplicaciones de las Integrales Definidas.

A parte de las aplicaciones vistas en clases (Área, Suma de Riemann, Volumes, entre otros), existen más aplicaciones de la Integral Definida. A continuación, veremos algunos más.

1. Trabajo.

El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas físicas. En física, para poder determinar un trabajo en el cual la fuerza aplicada siempre será constante, se emplea la fórmula de Trabajo(W) = fuerza(F) x distancia(d), mientras que la fórmula para hallar la fuerza es dada por la Segunda Ley de Newton (F=m.a).

No obstante, cuando la fuerza es variable, es decir, la fuerza varía continuamente en F(x) desde un punto a hasta un punto b, hay que hacer n sub-intervalos entre ambos puntos y la distancia entre los sub-intervalos será denotada por . [pic 1]

En este caso se procede de la misma forma que en la suma de Riemann, es decir:
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Ejemplo: Si una caja de mudanza se encontraba en el suelo del apartamento y requirió una fuerza de  para llevarlo desde x=1 hasta x= 5 ¿Cuál fue el trabajo requerido?[pic 4]

 (Aplicamos la regla de la suma)[pic 5]

1(Integramos y aplicamos el T.F.C.)[pic 6][pic 7]

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El trabajo realizado fue de 470 Joule.

1. Valor promedio de una función.

Calcular el promedio o el valor promedio de una función desde un número hasta otro es sencillo. Tomando en cuenta la fórmula del promedio de n cantidades  

(), dividimos la distancia de [a, b] en n sub-intervalos mediante la fórmula siguiente que vimos en la suma de Riemann, ,y evaluamos la función desde  hastaen la fórmula del promedio. (Podemos despejar n en la fórmula de ) y nos quedará:[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

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1. Teorema del valor promedio de una función.

Existe un teorema llamado Teorema del Valor Promedio para Integrales. Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Establece que en un intervalo cerrado[a, b] existe un numero c tal que:,es decir,[pic 16]

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Ejemplo: Halle el valor promedio de f(x) = 3x2 - 4x en el intervalo [1, 4].

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1. Área de una superficie de revolución.

Una superficie de revolución es la que se forma al hacer girar una curva en torno a una recta.Para hallar su área, podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolución y que la cascara se aplana para poder medir su área (del mismo modo en que imaginamos estirar la curva para medir su longitud en el tema de Longitud de Arco). Para hallar dichas áreas usamos las siguientes fórmulas dependiendo de en torno a que eje se gire. En torno a “” cuando o“”, cuando .[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

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Ejemplo:Determine el área que se obtiene al hacer girar la gráfica de ;      , en torno al eje x.[pic 29][pic 30]

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1. Aplicaciones a la física y a la ingeniería.

1. Momentos y centro de masa.

Nuestro principal objetivo aquí es hallar el punto P sobre el que una placa delgada de cualquier forma se mantiene horizontal. El punto se llama centro de masa (o centro de gravedad) de la placa.

Primero se considera la situación más simple, donde dos masas m1 y m2 se fijan a una varilla de masa insignificante en lados opuestos de un fulcro (punto de apoyo) y a distancias d1 y d2 de éste. La varilla se estabilizará si

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Éste es un hecho experimental que descubrió Arquímedes y se llama ley de la palanca. (Imagine una persona de poco peso que pone en equilibrio a una persona más pesada en un balancín, sentándose a una mayor distancia en relación con el centro.) Ahora suponga que la varilla está a lo largo del eje x con m1 en x1 y m2 en x2 y el centro de masa en . Si se comparan las figuras, se ve que   y , entonces, la ecuación 2 da[pic 36][pic 37][pic 38]

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Los números m1 x1 y m2 x2 se llaman momentos de las masas m1 y m2 (respecto al origen), y la ecuación 3 indica que el centro de masa  se obtiene al sumar los momentos de las masas y dividir entre la masa total [pic 42][pic 43]

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