Definidas Integrales

B) Aplicación de teorema fundamental del cálculo

• Definición

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Derivación Integración

• Formulas directas

Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre por . Si f es continua en , entonces F es derivable en y F'(c) = f(c).

Si es continua en , la función está definida por:

Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

• Calculo de integrales definidas por métodos

Cambio de variable

Procedimiento a seguir:

Decidir el cambio de variable a usar (t una función de x).

Calcular dt en función de x y dx. Calcular también los nuevos límites del intervalo de integración en la nueva variable.

Sustituir t y dt en la integral, para que desaparezcan las x. Y cambiar los límites de integración.

Calcular la integral con la nueva variable, sin necesidad de deshacer el cambio de variables si se ha cambiado correctamente el intervalo de integración.

Por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Por fracciones parciales

La integración por fracciones parciales es más un truco o recurso algebraico que algo nuevo que vaya a introducirse en el curso de Cálculo Integral. Es decir, en realidad en este tema no va a aprenderse nada nuevo de Cálculo Integral, simplemente se va a echar mano del Álgebra y luego aplicar técnicas que ya se estudiaron en otros capítulos. El tema de fracciones parciales en Álgebra se refiere a de sumar 1 una fracción, es decir a deshacer una suma de fracciones; en otras palabras, se trata de encontrar la suma de qué fracciones da como resultado la fracción dada. Por ejemplo, realizar la suma de fracciones.

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