Integrales Definidas

INTEGRALES DEFINIDAS

Concepto de integral definida Las integrales son básicamente, una suma de infinitos sumandos, los cuales son infinitamente pequeños, La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de las integrales definidas

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites d integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales•

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Ejemplos de integrales definidas

Ejemplo: Halle

Como f(x) = x3 es continua en el intervalo [-2, 1] sabemos que es integrable.

Dividimos el intervalo en subintervalos de igual longitud y para el cálculo de la integral consideramos el extremo derecho de cada subintervalo ti  .

  

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:





  



Observación: Esta integral definida es negativa, no representa el área graficada. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas

Aplicaciones de la integral

Área de una función y el eje de abscisas

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área

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