Resolución De Problemas De Integrales Definidas

Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas

∫_0^2▒〖2(x-1) dx〗=∫_0^2▒〖(2x-2)dx=2∫_0^2▒x〗 dx-2∫_0^2▒dx

=2(x^2/2)_0^2-2(x)_0^2=├ x^2 ┤|_0^2-├ 2x┤|_0^2=(2^2-0^2 )-2(2-0)

=(4-0)-2(2)=4-4

=0

∫_0^2▒〖(〖xe〗^(-x^2 )+〖3x〗^3 ) dx〗=∫_0^2▒〖〖xe〗^(-x^2 ) dx+3∫_0^2▒〖x^3 dx〗〗

Para la integral exponencial:

u=〖-x〗^2

du=-2x dx

-1/2 du=x dx

Sustituyendo y resolviendo:

=-1/2 ∫▒e^u du=-1/2 e^u=-1/2 e^(-x^2 )

Volviendo a la integral original:

∫_0^2▒〖(〖xe〗^(-x^2 )+〖3x〗^3 ) dx〗=(-1/2 e^(-x^2 ) )_0^2+〖3(x^4/4)〗_0^2

=-1/2 (e^(-2^2 )-e^(-0^2 ) )+3/4 (2^4-0^4 )=-1/2 (e^(-4)-1)+3/4 (16)

=12.49

∫_0^(√π)▒〖(x cos⁡〖x^2 〗+x^2 ) dx〗=∫_0^(√π)▒〖x cos⁡〖x^2 dx〗+∫_0^(√x)▒x^2 dx〗

Para la primera de esas dos integrales:

u=x^2

du=2x dx

1/2 du=x dx

Sustituyendo y resolviendo esa integral:

=1/2 ∫▒〖cos⁡〖u du〗=〗 1/2 sen u=1/2 sen x^2

Regresando a la integral original:

∫_0^(√π)▒〖(x cos⁡〖x^2 〗+x^2 ) dx〗=(1/2 sen x^2 )_0^√π + (x^3/3)_0^√π

=1/2 (sen (√π)^2-sen (0)^2 )+1/3 ((√π)^3-0^3 )

=1/2 (sen π-sen 0)+1/3 (〖√π〗^3-0)

=1.856

∫_e^(e^4)▒〖3x/(x^2 √(ln⁡x )) dx〗=∫_e^(e^4)▒〖3/(x√(ln⁡x )) dx〗

Resolvemos utilizando cambio de variable:

u=√(ln⁡x )

du=1/(2√(ln⁡x ))*1/x dx

2 du=1/(x√(ln⁡x )) dx

Sustituyendo y resolviendo la integral:

=3∫▒〖2 du=6∫▒〖du=〗〗 6u=6√(ln⁡x )

Retomando la integral original:

∫_e^(e^4)▒〖3x/(x^2 √(ln⁡x )) dx〗=(6√(ln⁡x ))_e^(e^4 )=6(√(ln⁡〖e^4 〗 )-√(ln⁡e ))

=6(√4-√1)=6(2-1)

=6

∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖〖sen〗^5 θ dθ〗=∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖( 〖sen〗^2 θ)^2 sen θ dθ〗

De acuerdo con la identidad trigonométrica:

〖sen〗^2 x + 〖cos〗^2 x=1

〖sen〗^2 x=1-〖cos〗^2 x

Entonces:

∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖〖sen〗^5 θ dθ〗=∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒(1-〖cos〗^2 θ)^2 senθ dθ

=∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖(1- 2〖cos〗^2 θ + 〖cos〗^4 θ) senθ dθ〗

=∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖 senθ dθ-2∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖 senθ 〖cos〗^2 θ dθ〗〗+∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖 senθ 〖cos〗^4 θ dθ〗

Usando cambio de variable:

u=cos⁡θ

du=-sen θ dθ

Sustituyendo y resolviendo:

=-∫▒du+2∫▒u^2 du-∫▒u^4 du=-u+2/3 u^3-1/5 u^5

Por lo tanto:

∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖〖sen〗^5 θ dθ〗=(-cos⁡θ+2/3 〖cos〗^3 θ-1/5 〖cos〗^5 θ)_(-π⁄4)^(π⁄3)

=(-cos⁡(π/3)+2/3 〖cos〗^3 (π/3)-1/5 〖cos〗^5 (π/3))-(-cos⁡(-π/4)+2/3 〖cos〗^3 (-π/4)-1/5 〖cos〗^5 (-π/4))

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