Resolución De Problemas De Integrales Definidas
Enviado por fcoaban • 6 de Marzo de 2013 • 446 Palabras (2 Páginas) • 1.283 Visitas
Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas
∫_0^2▒〖2(x-1) dx〗=∫_0^2▒〖(2x-2)dx=2∫_0^2▒x〗 dx-2∫_0^2▒dx
=2(x^2/2)_0^2-2(x)_0^2=├ x^2 ┤|_0^2-├ 2x┤|_0^2=(2^2-0^2 )-2(2-0)
=(4-0)-2(2)=4-4
=0
∫_0^2▒〖(〖xe〗^(-x^2 )+〖3x〗^3 ) dx〗=∫_0^2▒〖〖xe〗^(-x^2 ) dx+3∫_0^2▒〖x^3 dx〗〗
Para la integral exponencial:
u=〖-x〗^2
du=-2x dx
-1/2 du=x dx
Sustituyendo y resolviendo:
=-1/2 ∫▒e^u du=-1/2 e^u=-1/2 e^(-x^2 )
Volviendo a la integral original:
∫_0^2▒〖(〖xe〗^(-x^2 )+〖3x〗^3 ) dx〗=(-1/2 e^(-x^2 ) )_0^2+〖3(x^4/4)〗_0^2
=-1/2 (e^(-2^2 )-e^(-0^2 ) )+3/4 (2^4-0^4 )=-1/2 (e^(-4)-1)+3/4 (16)
=12.49
∫_0^(√π)▒〖(x cos〖x^2 〗+x^2 ) dx〗=∫_0^(√π)▒〖x cos〖x^2 dx〗+∫_0^(√x)▒x^2 dx〗
Para la primera de esas dos integrales:
u=x^2
du=2x dx
1/2 du=x dx
Sustituyendo y resolviendo esa integral:
=1/2 ∫▒〖cos〖u du〗=〗 1/2 sen u=1/2 sen x^2
Regresando a la integral original:
∫_0^(√π)▒〖(x cos〖x^2 〗+x^2 ) dx〗=(1/2 sen x^2 )_0^√π + (x^3/3)_0^√π
=1/2 (sen (√π)^2-sen (0)^2 )+1/3 ((√π)^3-0^3 )
=1/2 (sen π-sen 0)+1/3 (〖√π〗^3-0)
=1.856
∫_e^(e^4)▒〖3x/(x^2 √(lnx )) dx〗=∫_e^(e^4)▒〖3/(x√(lnx )) dx〗
Resolvemos utilizando cambio de variable:
u=√(lnx )
du=1/(2√(lnx ))*1/x dx
2 du=1/(x√(lnx )) dx
Sustituyendo y resolviendo la integral:
=3∫▒〖2 du=6∫▒〖du=〗〗 6u=6√(lnx )
Retomando la integral original:
∫_e^(e^4)▒〖3x/(x^2 √(lnx )) dx〗=(6√(lnx ))_e^(e^4 )=6(√(ln〖e^4 〗 )-√(lne ))
=6(√4-√1)=6(2-1)
=6
∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖〖sen〗^5 θ dθ〗=∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖( 〖sen〗^2 θ)^2 sen θ dθ〗
De acuerdo con la identidad trigonométrica:
〖sen〗^2 x + 〖cos〗^2 x=1
〖sen〗^2 x=1-〖cos〗^2 x
Entonces:
∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖〖sen〗^5 θ dθ〗=∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒(1-〖cos〗^2 θ)^2 senθ dθ
=∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖(1- 2〖cos〗^2 θ + 〖cos〗^4 θ) senθ dθ〗
=∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖 senθ dθ-2∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖 senθ 〖cos〗^2 θ dθ〗〗+∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖 senθ 〖cos〗^4 θ dθ〗
Usando cambio de variable:
u=cosθ
du=-sen θ dθ
Sustituyendo y resolviendo:
=-∫▒du+2∫▒u^2 du-∫▒u^4 du=-u+2/3 u^3-1/5 u^5
Por lo tanto:
∫_(-π⁄4)^(π⁄3)▒〖〖sen〗^5 θ dθ〗=(-cosθ+2/3 〖cos〗^3 θ-1/5 〖cos〗^5 θ)_(-π⁄4)^(π⁄3)
=(-cos(π/3)+2/3 〖cos〗^3 (π/3)-1/5 〖cos〗^5 (π/3))-(-cos(-π/4)+2/3 〖cos〗^3 (-π/4)-1/5 〖cos〗^5 (-π/4))
...