Aplicacion De Integrales Definidas

Un deposito tiene la forma de un cono circular invertido de altura 10m y radio de la base de 4m. Se llena con agua hasta alcanzar una altura de 8m. Calcule el trabajo que se requiere para vaciar el agua por medio de un bombeo por la parte superior del deposito.

SOLUCION:

Midiendo las profundidades desde la parte superior del recipiente se observa que hay agua con profundidad desde 2m hasta 10m .

Dividimos el intervalo [2,10] en n intervalos desde x0 hasta xn. De este modo el agua queda divida en capas, (según va descendiendo el agua con el bombeo).

Elegimos Xi que es el i-esimo subintervalo. Asi obtenemos un cilindo de radio Ri y altura (delta)x.

Calculamos Ri usando triángulos semejantes.

ri/(10-xi)=4/10 ri=2/5(10-xi)

de este modo el volumen aproximado de la i-esima capa (Tomando en cuenta que es un cilindro) es de:

V(cilindro)=π(r^2 )(h)

Vi≈π(〖ri〗^2 )(∆x)=4π/25(10-xi)^2 ∆x

de modo que su masa es:

m=ρV

≈1000∙4π/25(10-xi)^2 ∆x =160π(10-xi)^2 ∆x

la fuerza necesaria para subir esta capa debe superar la fuerza de gravedad, por esto:

F=mg

Fi=(mi)(g)≈(9.8)(160π(10-xi)^2)(∆x)

≈1570π(10-xi)^2 ∆x

Cada particula de la capa debe viajar una distancia de aproximadamente xi. El trabajo Wi realizado para subir la capa hasta lo mas alto del deposito es casi el producto de la fuerza y la distancia.

W=Fd

Wi≈Fixi≈1570πxi(10-xi)^2 ∆x

finalmente para encontrar el trabajo total del vaciado del tanque solo sumamos las n capas tomando como nuestro limite n cuando tiene a infinito.

W=lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖1570πxi(19-xi)^2 ∆x= ∫_2^10▒〖1570πx(10-x)^2 dx〗〗

=1570π∫_2^10▒(100x-20x^2+x^3 )dx=1570π[50x^2-(20x^3)/3+x^4/4] ■(10@2)

=1570π(2048/3)≈3.4 X 〖10〗^6 J

...