Otras aplicaciones de la integral definida

TRABAJO

Fundamento Teórico

El término trabajo se utiliza en el lenguaje cotidiano para expresar el esfuerzo que se requiere para ejecutar una tarea. En la ciencia, este concepto alude específicamente a una fuerza que actúa sobre un cuerpo y al consecuente desplazamiento del cuerpo.

Trabajo realizado por una fuerza constante

Cuando un cuerpo se mueve una distancia d a lo largo de una línea recta como resultado de la aplicación de una fuerza constante de magnitud F en la dirección del movimiento, definimos el trabajo W realizado por la fuerza sobre el cuerpo mediante la fórmula:

Trabajo = (fuerza)*(distancia)

W = F * d

Trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una recta

Si la fuerza que se aplica varía durante el proceso, como ocurre al comprimir un resorte, la fórmula W = F*d tiene que reemplazarse por una integral que tome en cuenta la variación de F.

Suponga que la fuerza que realiza el trabajo actúa a lo largo de una línea que consideraremos como el eje x, y que su magnitud F es una función continua de la posición, desde x = a hasta x = b. Hacemos una partición de [a, b] en la forma usual, y elegimos un punto arbitrario xi* en el i-ésimo subintervalo

[xi-1, xi]. Entonces la fuerza en el punto es f (xi*). Si n es grande, entonces ∆x es pequeña, y puesto que f es continua, los valores de f no cambian mucho sobre el intervalo [xi-1, xi]. Por lo tanto, el trabajo total realizado de a a b se aproxima mediante la suma de Riemann:

W ≈ ∑_(i=1)^n▒〖f(xi*)∆x〗

Parece que esta aproximación es mejor a medida que incrementamos a n. Por tanto, definimos el trabajo realizado al mover el objeto desde a hasta b como el límite de esta cantidad cuando n∞.

W = (lim)┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖f(xi*)∆x〗

Ley de Hooke para resortes

La ley de Hooke establece que la fuerza que se requiere para estirar o comprimir un resorte x unidades de longitud a partir de su longitud natural (sin comprimir), es proporcional a x. Formula: F(x) = k*x, donde la constante k, medida en unidades de fuerza por unidad de longitud, es una característica del resorte, denominada constante del resorte.

Fórmula

Definición Trabajo

El trabajo realizado por una fuerza variable F(x) dirigida a lo largo del eje x de x = a hasta x = b viene dado por:

W = ∫_a^b▒f(x)dx

Ejemplos Resueltos

Problema:

Determinar el trabajo requerido para comprimir un resorte desde su longitud natural de 1 pie a una longitud de 0.75 pies, si la constante del resorte es k= 16 lb/pie.

Solución:

El resorte se comprime de 1 pie a 0.75 pies, de modo que la cantidad comprimida es 0.25 pies. Nuestro intervalo entonces seria de x=0 hasta x=0.25. Aplicando la ley de Hooke [f(x)=k*x], obtenemos que f(x) = 16x.

W = ∫_a^b▒f(x)dx

= ∫_0^0.25▒〖16x dx〗

= [8x2]

= 0.5 lb-pies

valor promedio de una funciÓn

Fundamento Teórico

Para calcular el valor promedio de una función y = f (x), a ≤ x ≤ b, empezamos por dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de ellos de longitud ∆x = (b – a)/n. Luego escogemos los puntos x1,..., xn en subintervalos sucesivos y calculamos el promedio de los números f(x1),..., f(xn) :

(f(x_1 )+ …+f(x_n))/n

Puesto que ∆ x = (b – a)/n, podemos escribir n = (b – a)/∆ x, y el valor promedio es:

1/((b-a)) ∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗

Si incrementamos n, podríamos calcular el valor promedio de un gran número de valores muy poco separados. Cuando n∞, el valor límite es:

(lim)┬(n→∞)⁡〖1/((b-a)) ∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗〗

Fórmula

Definición Valor Promedio de f

El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] viene dado por:

Fprom = 1/((b-a)) ∫_a^b▒〖f(x) dx〗

Ejemplos Resueltos

Problema:

Determinar el valor promedio de la función f(x) = 4x – x2 en el intervalo que va desde x=0 hasta x=4.

Solución:

Intervalo dado [a,b] = [0,4]

Aplicando la fórmula de valor promedio obtenemos:

Fprom = 1/((b-a)) ∫_a^b▒〖f(x) dx〗

= 1/((4-0)) ∫_0^4▒〖(4x-x^2) dx〗

= 1/4[2x^2-x^3/3]

= 1/4[(2(4)^2-4^3/3)-(0-0)]

= 8/3

Área de una superficie de revoluciÓn

Fundamento Teórico

Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolución y que la cascara se aplana para poder medir su área.

Para hacer el cálculo se van a tomar, haciendo partición del intervalo [a,b], los segmentos de recta Pi-1, Pi que al rotar alrededor del eje generan un cono truncado cuya área de superficie necesitaremos. El área de la superficie de un cono circular recto de radio r y generatriz o altura inclinada l es:

A= π*r*l

Cuando éste se hace girar en torno a un eje, crea una superficie más simple cuya área superficial se aproxima al área superficial real. Si se toma un límite, podemos determinar el área superficial exacta.

Entonces, la superficie de aproximación consta de varias bandas, cada una formada al hacer girar un segmento de recta en torno a un eje. Para hallar el área superficial, cada una de estas bandas puede ser considerada la porción de un cono circular. El área de la banda (o cono truncado) con una altura inclinada l y radios superior e inferior r1 y r2, respectivamente, se encuentra al restar las áreas de los dos conos:

A= 2π*r*l

Donde r = (1/2)*(r1+r2) es el radio promedio de la banda.

Consideremos la superficie que se obtiene al hacer girar la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b, en torno al eje x, donde f es positiva y tiene una derivada continua. A fin de definir su área superficial, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos con puntos extremos x0, x1,..., xn e igual ancho ∆x. Si yi = f (xi), entonces el punto Pi(xi, yi) está sobre la curva. La porción de la superficie entre xi-1 y xi se aproxima al tomar el segmento de recta Pi-1Pi, y hacerlo girar en torno al eje x. El resultado es una banda con

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