La integral definida y sus aplicaciones

1. La integral definida y sus aplicaciones

Calculo de áreas utilizando sumatorias

La definición de la integral definida está estrechamente relacionada con el cálculo de áreas de ciertas regiones en un plano coordenado.

A través de la descomposición de rectángulos del área de una función podemos calcular el área total bajo la curva de una función compleja, tal como se muestra en la siguiente figura:

[pic 3]

Donde el área de un rectángulo es  donde la base de cada rectángulo es  (la cual se busca sea lo más cercana a cero) y la altura es  para cada rectángulo, entonces para tener el área total necesitamos la suma de todos los rectángulos por lo que:[pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Donde el área no sombreada bajo la curva es igual a:

[pic 8]

Lo cual representa el error de utilizar sumatorias para calcular el área, pero esto se puede minimizar haciendo  lo más pequeño posible.[pic 9]

Definición.

Sea    una función continua y no negativa en . Sean  un número real  y  el valor mínimo de  en . Entonces:[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

Significa que para todo  hay un  tal que si , entonces[pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

Teoremas:

5.2.- [pic 21]

5.3.- Sea n un entero positivo y sean  y  dos conjuntos de números reales. Entonces:[pic 22][pic 23]

1. [pic 24]
2. [pic 25]
3. [pic 26]

Formulas para calcular áreas:

1. [pic 27]
2. [pic 28]
3. [pic 29]
4. [pic 30]
5. [pic 31]

Tipos de rectángulos:

Cuando los rectángulos son debajo de la gráfica se llaman inscritos y se utiliza el mínimo, cuando los rectángulos están por fuera de la gráfica se llaman circunscritos y se utiliza el máximo.

Ejemplos:

1. Sea , calcular el área de la región bajo la gráfica de , si el intervalo es , utilizando rectángulos inscritos:[pic 34][pic 35][pic 36]

Solución:

Primero: graficamos  y obtenemos una gráfica que decrece:

Segundo: dividimos el intervalo  en n subintervalos iguales (donde  y , entonces la longitud  de cada intervalo es:[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

[pic 42]

Tercero: encontramos   ,        y   [pic 43][pic 44][pic 45]

[pic 46]

      [pic 47][pic 48]

         [pic 49][pic 50]

[pic 51]

Cuarto: como la función es decreciente y los rectángulos son inscritos, el número  en  en el que  alcanza su mínimo es el extremo derecho  del subintervalo, es decir , sustituyendo en  a  tenemos:[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Quinto: sustituyendo valores en la sumatoria:

[pic 61]

[pic 62]

Sexto: aplicando  y , tenemos.[pic 63][pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

Séptimo: aplicando [pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

Octavo: para calcular el área de la región hacemos que  tienda a 0. Como , esto puede lograrse haciendo tender a infinito la n, sustituimos  por  y obtenemos:[pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

Resp: 39 unidades cuadradas

1. Sea , calcular el área de la región bajo la gráfica de , si el intervalo es :[pic 83][pic 84][pic 85]

Solución:

Primero: graficamos  y obtenemos una gráfica que crece:

Segundo: dividimos el intervalo  en n subintervalos iguales (donde  y , entonces la longitud  de cada intervalo es:[pic 87][pic 88][pic 89][pic 90]

[pic 91]

Tercero: encontramos   ,        y   [pic 92][pic 93][pic 94]

[pic 95]

      [pic 96][pic 97]

         [pic 98][pic 99]

[pic 100]

Cuarto: como la función es creciente  y los rectángulos son circunscritos, el número  en  en el que  alcanza su máximo es el extremo derecho  del subintervalo, es decir , sustituyendo en  a  tenemos:[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

Quinto: sustituyendo valores en la sumatoria:

[pic 110]

[pic 111]

Sexto: aplicando , tenemos.[pic 112]

...