Integral Definida

Formato Integral definida

Datos del estudiante

Nombre:

Matrícula:

Nombre de la Evidencia de Aprendizaje: Integral Definida

Fecha de entrega: 04-08-2019

Nombre del Módulo: Calculo Integral V1

Nombre del asesor: Claudia Patricia Yépez Montecinos.

Para realizar esta Evidencia de Aprendizaje es necesario que hayas comprendido los contenidos que se te presentaron en la Unidad 2.

Instrucciones:

Resuelve las siguientes operaciones de integral definida.

∫_1^8▒(x^□(-1/2)/(1+x^(1/2) ))dx

∫_1^8▒(x^□(-1/2)/(1+x^(1/2) ))dx=1n((4√2+9)/4)

∫_1^8▒〖x^□(-1/2)/(1+√x) dx〗

Calculamos la integral indefinida:

∫▒〖x^□(-1/2)/(1+√x) dx〗=2ln|√x+1|+C

∫▒〖x^□(-1/2)/(1+√x) dx〗

Simplificamos

∫▒〖1/((√(x+1)) √x) dx〗

Aplicamos la integración por sustitución u= √x+1

∫▒〖2/u du〗

Sacamos la constante ∫▒〖a f (x)dx=a*f+(x)dx〗

2*∫▒〖1/u du〗

Aplicamos la regla de la integración ∫▒〖1/u du=In(|u|)〗

=2In|u|

Sustituimos en la ecuación u= √x+1

=2In|√x+1|

Agregamos una constante

=2In|√x+1|+C

Calculamos los limites ∫_1^8▒(x^□(-1/2)/(1+√x))dx:∫_1^8▒(x^□(-1/2)/(1+√x))dx= 2In(2√(2+1))-2In(2)

lim┬(x→1+)⁡〖(2In|√x+1|)=2In〗 (2√2+1)

lim┬(x→8-)⁡〖(2In|√x+1|)=2In〗 (2√2+1)

=2In(2√2+1)-2In(2)

Simplificamos

In((4√(2+9))/4)

∫_0^4▒(1/√9)dx

Calculamos la integral

∫▒1/√9 dx=1/3 x+C

∫▒1/√9 dx∶ ∫_0^4▒〖1/√9 dx=〗 4/3-0

= 4/3-0

= 4/3

∫_0^5▒dx/√(9+〖4x〗^2 )

∫_0^5▒dx/√(9+〖4x〗^2 ) dx=ln⁡((10+√ 109)/3)/2

∫_0^5▒dx/√(9+〖4x〗^2 ) dx

Calculamos la integral indefinida ∫▒1/√(9+4x^2 ) dx=1/2 〖ln|〗⁡〖2/3〗 x+√(1+4/9) x^2 |+C

∫▒1/√(9+4x^2 ) dx

=∫▒sec⁡(u)/(2√(〖tan〗^2 (u)+1)) du

Sacamos la constante =1/2* ∫▒〖(〖sec〗^2 (u))/(〖tan〗^2 (u)+1) du〗

Usamos la identidad 1+ 〖tan〗^2 (x)= 〖sec〗^2 (x)

=1/2* ∫▒〖(〖sec〗^2 (u))/(〖tan〗^2 (u) ) du〗

√(〖sec〗^2 (u))=(sec⁡(u) )asumiedo que sec⁡(u)≥0

=1/2* ∫▒〖(〖sec〗^2 (u))/(〖tan〗^2 (u) ) du〗

Simplificamos

=1/2* ∫▒〖sec⁡(u)du〗

Aplicamos la regla de la integración ∫▒〖sec⁡(u)du〗=In |tan⁡(u)+sec⁡(u)|

=1/2 In|tan⁡(u)+sec⁡(u)|

=1/2 In|tan⁡(arctan⁡(2/3 x)) |

Simplificamos

=1/2 In|tan⁡(arctan⁡(2/3 x) )+sec⁡(arctan⁡(2/3 x) ) |: 1/2 In|2/3 x+√(1+4/9 x^2 |)

=1/2 In|tan⁡(arctan⁡(2/3 x) )+sec⁡(arctan⁡(2/3 x) ) |

=1/2 In|tan⁡(arctan⁡(2/3 x) ) |+ √(1+2/3 〖(x)〗^2 |)

=1/2 In|2/3 x+ √(1+2/3 〖(x)〗^2 |)

=(2/3 x)^2=4/9 x^2

(2/3 x)^2

Aplicamos leyes de exponentes

=(2/3 x)^(2 ) x^2

(2/3)^(2 )=2^2/3^2

=2^2/3^2 x^2

2^2/3^2 =4/9

=4/9 x^2

=1/2 ln⁡〖|2/3〗 x+ √(4/9 x^2+1|)

=1/2 ln⁡〖|2/3〗 x+ √(1+4/9 x^2 |)

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