Integral definida

Integral definida

Instrucciones:

Resuelve las siguientes operaciones de integral definida.

∫_1^8▒(x^□(-1/2)/(1+x^(1/2) ))dx

∫_1^8▒〖(x-1/2)/(1+√x) dx=1n〗 ((4√2+9)/4)

∫_1^8▒〖(x-1/2)/(1+√x) dx〗

Calculamos la integral definida

∫▒〖(x-1/2)/(1+√x) dx=2ln〗 |√x+1|+C

∫▒〖(x-1/2)/(1+√x) dx〗

Simplificamos:

=∫▒〖1/((√x+1)√x) dx〗

Aplicamos la integración por sustitución: u=√x+1

=∫▒〖2/u du〗

Sacamos la constante:∫▒〖a f(x)dx=a*f+(x)dx〗

=2*∫▒〖1/u du〗

Aplicamos la regla de integración: ∫▒〖1/u du=ln⁡(|u|)〗

=2ln|u|

Sustituimos en la ecuación: u=√x+1

=2ln|√x+1|

Agregamos una constante:

=2ln|√x+1|+C

Calculamos los límites: ∫_1^8▒〖(x-1/2)/(1+√x) dx: ∫_1^8▒〖(x-1/2)/(1+√x) dx=2 ln⁡(2√2+1)-2 ln⁡(2) 〗〗

〖lim〗_(x→1+) (2ln|√x+1|)=2ln⁡(2√2+1)

〖lim〗_(x→8-) (2ln|√x+1|)=2ln⁡(2√2+1)

=2 ln⁡(2√2+1)-2ln⁡(2)

Simplificamos

=ln⁡((4√(2+9))/4)

∫_0^4▒(1/√9)dx

Calculamos la integral indefinida

∫▒1/√9 dx=1/3 x+C

∫_0^4▒〖1/√9 dx: ∫_0^4▒〖1/√9 dx=4/3-0〗〗

=4/3-0

=4/3

∫_0^5▒dx/√(9+〖4x〗^2 )

∫_0^5▒1/√(9+4x^2 ) dx

∫_0^5▒〖1/√(9+4x^2 ) dx=ln⁡((10+√109)/3)/2〗

∫_0^5▒〖1/√(9+4x^2 ) dx〗

Calculamos la integral indefinida: ∫▒〖1/√(9+4x^2 ) dx= 1/2 ln|2/3 x+√(1+4/9 x^2 )〗|+C

∫▒〖1/√(9+4x^2 ) dx〗

=∫▒〖sec⁡〖(u)〗/(2√(〖tan〗^2 (u)+1)) du〗

Sacamos la contante: =1/2*∫▒(〖sec〗^2 (u))/√(〖tan〗^2 (u)+1) du

Usamos la identidad: 1+〖tan〗^2 (x)=〖sec〗^2 (x)

=1/2*∫▒〖(〖sec〗^2 (u))/√(〖tan〗^2 (u) ) du〗

√(〖sec〗^2 (u) )=(sec⁡(u) ) asumiento que sec⁡〖(u)≥0〗

=1/2*∫▒〖(〖sec〗^2 (u))/(sec⁡(u)) du〗

Simplificamos

=1/2*∫▒〖sec⁡(u)du〗

regla de integración: ∫▒〖sec⁡(u)du=ln〗|tan⁡(u)+sec⁡(u)|

=1/2 ln|tan⁡(u)+sec⁡(u)|

=1/2 ln⁡|tan⁡(arctan⁡(2/3 x) ) |

Simplificamos

=1/2 ln⁡|tan⁡(arctan⁡(2/3 x) )+sec⁡〖(arctan⁡(2/3 x) )|:1/2 ln| 2/3 x+√(1+4/9 x^2 )|〗

=1/2 ln⁡|tan⁡(arctan⁡(2/3 x) )+sec⁡(arctan⁡(2/3 x) ) |

=1/2 ln⁡|tan⁡(arctan⁡(2/3 x) )+√(1+(2/3 x)^2 )|

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