Integrales definidas

MARCO CONCEPTUAL

La integración se remonta al antiguo Egipto, alrededor de 1800 a. C., con el Papiro de Moscú, donde resulta que se conoce la fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales fue el método universal de Eudoxo (alrededor del 370 a. C.), quien intentó encontrar el área y el volumen dividiéndolos por infinito, el número de formas en que se conoce el área o el volumen (Burton, 2005; Thomas, 2010).

INTEGRAL DEFINIDA

El desarrollo de la definición de la integral definida comienza con una función f(x), que es continua en un intervalo cerrado [a, b] (Becerra; s/f; Hermosa y Galindo, 2015; Cercado, 2018). El intervalo dado se divide en “n” subintervalos que, aunque no son necesarios, se pueden considerar de igual longitud (Δ x). Se elige un valor de dominio arbitrario, x i, en cada subintervalo, y se determina su valor de función subsiguiente, f(xi). (Camacho, 2008; Villena, 2009).

Se determina el producto del valor de cada función por la longitud del subintervalo correspondiente, y estos “n” productos se suman para determinar su suma. Esta suma se denomina suma de Riemann y puede ser positiva, negativa o cero, según el comportamiento de la función en el intervalo cerrado. Por ejemplo, si f(x) > 0 en [a, b], entonces la suma de Riemann será un número real positivo. Si f(x) < 0 en [a, b], entonces la suma de Riemann será un número real negativo. (Camacho, 2008).

La suma de Riemann de la función f(x) en [ a, b]: la cual se expresa como:

[pic 1]

Por lo tanto, una suma de Riemann puede considerarse como una "suma de n productos".

INTEGRAL DEFINIDA COMO LÍMITE DE SUMA

 La integral definida de cualquier función se puede expresar como el límite de una suma o si existe una antiderivada F para el intervalo [a, b], entonces la integral definida de la función es la diferencia de los valores en los puntos a y b. Analicemos las integrales definidas como límite de una suma. Considere una función continua f en x definida en el intervalo cerrado [a, b]. Suponiendo que f(x) > 0, el siguiente gráfico representa f en x. (Granville, 1980).

La integral de f(x) es el área de la región delimitada por la curva y = f(x). Esta área está representada por la región ABCD como se muestra en la figura anterior. Toda esta región situada entre [a, b] se divide en n subintervalos iguales dados por [x0, x1], [x1, x2], …… [xr-1, xr], [xn-1, xn]. (Granville, 1980).[pic 2]

Consideremos el ancho de cada subintervalo como h tal que h → 0, x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h,…..,xr = a + rh, xn = b = a + nh y n = (b – a)/h

Además, n→∞ en la representación anterior.

Ahora, a partir de la figura anterior, escribimos las áreas de regiones e intervalos particulares como:

Área del rectángulo PQFR < área de la región PQSRP < área del rectángulo PQSE…. (1) Ya que. h→ 0, por lo tanto xr– xr-1→ 0. Las siguientes sumas se pueden establecer como:

[pic 3]

De la primera desigualdad, considerando cualquier subintervalo arbitrario [xr-1, xr] donde r = 1, 2, 3….n, se puede decir que sn< área de la región ABCD <Sn.

PROPIEDADES INTEGRALES DEFINIDAS

A continuación, se muestra la lista de algunas propiedades esenciales de las integrales definidas. Estos ayudarán a evaluar las integrales definidas de manera más eficiente. (Granville, 1980)

∫ab f(x) dx = ∫ab f(t) d(t)

∫ab f(x) dx = – ∫ba f(x) dx

∫aa f(x) dx = 0

∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx

∫ab f(x) dx = ∫ab f(a + b – x) dx

∫0a f(x) dx = f(a – x) dx

Pasos para calcular ∫ab f(x) dx

Paso 1: Encuentra la integral indefinida ∫f(x) dx. Sea esto F(x). No hay necesidad de mantener constante de integración C. Esto se debe a que si consideramos F(x) + C en lugar de F(x), obtenemos  ∫ab f(x) dx = [F(x) + C]ab = [F(b) + C] – [F(a) + C] = F(b) + C – F(a) – C = F(b) – F(a)

Así, la constante arbitraria no aparecerá al evaluar el valor de la integral definida.

Paso 2: Calcular el valor de F(b) – F(a) = [F(x)]ab

Por lo tanto, el valor de ∫ab f(x) dx = F(b) – F(a)

INTEGRAL DEFINIDA POR PARTES

A continuación se presentan las fórmulas para encontrar la integral, de una función al dividirla en partes:

∫02a f (x) dx = ∫0a f (x) dx + ∫0a f (2a – x) dx

∫02a f (x) dx = 2 ∫0a f (x) dx … si f(2a – x) = f (x).

∫02a f (x) dx = 0 … si f (2a – x) = – f(x)

∫-aa f(x) dx = 2 ∫0a f(x) dx … si f(- x) = f(x) o es una función par

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