Integrales Definición de integrales definidas

Integrales definidas La integral definida de una función está estrechamente relacionada con la integral antiderivada e indefinida de una función. La principal diferencia es que la integral indefinida, si existe, es un valor numérico real, mientras que las dos últimas representan un número infinito de funciones que difieren solo en una constante. La relación entre estos conceptos se discutirá en la sección sobre el Teorema Fundamental del Cálculo, y verá que la integral definida tendrá aplicaciones para muchos problemas en cálculo

Definición de integrales definidas

El desarrollo de la definición de la integral definida comienza con una función f (x), que es continua en un intervalo cerrado [a, b]. El intervalo dado se divide en "n" subintervalos que, aunque no son necesarios, pueden tomarse para tener la misma longitud (Δ x). Se elige un valor de dominio arbitrario, x i, en cada subintervalo, y se determina su valor de función posterior, f (x i). Se determina el producto de cada valor de función multiplicado por la longitud de subintervalo correspondiente, y estos "n" productos se suman para determinar su suma. Esta suma se conoce como suma de Riemann y puede ser positiva, negativa o cero, dependiendo del comportamiento de la función en el intervalo cerrado. Por ejemplo, si f (x)> 0 en [a, b], la suma de Riemann será un número real positivo. Si f (x) <0 en [a, b], entonces la suma de Riemann será un número real negativo. La suma de Riemann de la función f (x) en [a, b] se expresa como

[pic 1]

Una suma de Riemann puede, por lo tanto, ser considerada como una "suma de n productos".

Ejemplo 1: Evalúe la suma de Riemann para f (x) = x 2 en [1,3] usando los cuatro subintervalos de igual longitud, donde x i es el punto final derecho en el i-ésimo subintervalo (vea la Figura).

Figura 1 Una suma de Riemann con cuatro subintervalos.

[pic 2]

Debido a que los subintervalos deben ser de igual longitud, encontrará que

  [pic 3]

La suma de Riemann para cuatro subintervalos es

[pic 4]

Si el número de subintervalos se incrementa repetidamente, el efecto sería que la longitud de cada subintervalo se volvería cada vez más pequeña. Esto se puede replantear de la siguiente manera: si el número de subintervalos aumenta sin límite (n → + ∞), entonces la longitud de cada subintervalo se aproxima a cero (Δ x → + ∞). Este límite de una suma de Riemann, si existe, se usa para definir la integral definida de una función en [a, b]. Si f (x) se define en el intervalo cerrado [a, b], la integral definida de f (x) de aa b se define como

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si este límite sale

La función f (x) se llama integrando, y la variable x es la variable de integración. Los números a y b se llaman límites de integración con lo que se conoce como límite inferior de integración, mientras que b se denomina límite superior de integración.

Tenga en cuenta que el símbolo ∫, utilizado con la integral indefinida, es el mismo símbolo utilizado anteriormente para la integral indefinida de una función. La razón de esto se hará más evidente en la siguiente discusión del Teorema Fundamental del Cálculo. Además, tenga en cuenta que la integral definida es un número real único y no representa un número infinito de funciones que resultan de la integral indefinida de una función.

La cuestión de la existencia del límite de una suma de Riemann es importante de considerar porque determina si la integral definida existe para una función en un intervalo cerrado. Al igual que con la diferenciación, existe una relación significativa entre continuidad e integración y se resume de la siguiente manera: si una función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la integral definida de f (x) en [a, b] existe y f se dice que es integrable en [a, b]. En otras palabras, la continuidad garantiza que existe la integral definida, pero lo contrario no es necesariamente cierto.

Desafortunadamente, el hecho de que la integral definida de una función exista en un intervalo cerrado no implica que el valor de la integral definida sea fácil de encontrar.

Propiedades de integrales definidas

Ciertas propiedades son útiles para resolver problemas que requieren la aplicación de la integral definida. Algunas de las propiedades más comunes son

1. [pic 6]

2. [pic 7]

3., [pic 8] donde c es una constante

4. [pic 9]

5. Regla de la suma: [pic 10]

6. Regla de diferencia: [pic 11]

7. Si [pic 12]

8. Si [pic 13]

9. Si [pic 14]

10. Si a, byc son tres puntos en un intervalo cerrado, entonces

  [pic 15]

11. El teorema del valor medio para integrales definidas: si f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces al menos existe un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que

[pic 16]

El valor de f (c) se llama el valor medio o medio de la función f (x) en el intervalo [a, b] y

[pic 17]  

Ejemplo 2: Evaluar

[pic 18][pic 19]

Ejemplo 3: dado que[pic 20]

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Ejemplo 4: dado que[pic 22]

[pic 23]

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