Matematica Integrales Indefinida

INTEGRALES INDEFINIDAS, ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN:

Hemos visto en las partes anteriores del curso que la derivada de la función f(x)=x^2,-∞<x<∞ tiene como derivada a f´(x)=2x,con-∞<x<∞. Pero también dijimos que la derivada en un punto específico f´(x_0 )=lim┬(h→∞)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0 ))/h〗 era exactamente el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x)=x^2 en el punto T(x_0,f(x_0 ) )=T(x_0,x_0^2). Es decir, la recta 〖y=f´(x〗_0)(x-x_0 )+x_0^2 o más concretamente y=2(x-x_0 )+x_0^2=2x-2x_0+x_0^2.

Si nos planteáramos un problema diferente, casi inverso al anterior, como qué funciones tienen la propiedad de que su pendiente en cada punto es el doble del valor de su abscisa. Nos encontramos con un problema cuya solución nos devuelve a la función f(x)=x^2, pero con la particularidad que no es la única que resuelve la pregunta sino que también son soluciones f(x)=x^2+1; f(x)=x^2+5; f(x)=x^2-√3; f(x)=x^2-π/e, y en general cualquier función de la forma f(x)=x^2+C,con C∈R.

Debemos recordar que para variaciones infinitamente pequeñas de la función dy=y´dx. Esto define la variación instantánea de la variable y. Aprovecharemos esta última igualdad para definir:

y=∫▒〖y´dx+C〗. Entendiendo ese símbolo ∫ como la determinación de la función que tiene como derivada a y´. Podemos así establecer la siguiente fórmula a partir del razonamiento previo:

∫▒〖2x dx=x^2+C〗

A fin de generalizar un poco el razonamiento observemos que siendo que al derivar mx^n se obtiene mnx^(n-1). Si queremos devolver este procedimiento parece razonable sumar 1 al exponente, pero también debemos anular el efecto de multiplicar la base por el exponente lo cual se consigue dividiendo el exponente incrementado en uno. En una fórmula podemos escribir:

∫▒〖x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C〗

Pero esta es apenas una de un buen número de fórmulas de antiderivadas de las funciones. Existen compendios denominados tablas de integrales que contienen grandes cantidades de estas primitivas. Una lista básica de estas se presenta a continuación :

∫▒〖(f(x)+g(x))dx〗=∫▒f(x)dx=∫▒g(x)dx

∫▒〖kf(x)dx=k∫▒f(x)dx〗

∫▒〖dx=x+C〗

∫▒〖x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C〗

∫▒〖dx/x=ln⁡x+C〗

∫▒〖e^x dx=e^x+C〗

∫▒〖a^x dx=a^x/ln⁡a +C〗

∫▒〖sen(x) dx=cos⁡(x)+C〗

∫▒〖cos(x)dx=-sen⁡(x)+C〗

∫▒〖〖sec〗^2 (x) dx=tg⁡(x)+C〗

∫▒〖〖csc〗^2 (x)dx=-ctg⁡(x)+C〗

∫▒〖(dx )/〖1+x〗^2 =arctg⁡(x)+C〗

∫▒〖(dx )/√(〖1-x〗^2 )=arcsen⁡(x)+C〗

∫▒〖(dx )/√(〖1+x〗^2 )=ln[x+√(x^2+1)]+C〗=arcsenh(x)+C

∫▒〖(dx )/√(x^2-1)=ln[x+√(x^2-1)]+C〗=arccosh⁡(x)+C

∫▒〖senh(x) dx=cosh⁡(x)+C〗

∫▒〖cosh(x) dx=senh⁡(x)+C〗

∫▒〖〖sech〗^2 (x) dx=tgh⁡(x)+C〗

∫▒〖〖csech〗^2 (x)dx=-ctgh⁡(x)+C〗

∫▒〖(dx )/〖1-x〗^2 =arc tgh⁡(x)+C=1/2〗 ln (1+x)/(1-x)+C

METODOS DE INTEGRACIÓN:

Se han determinado varias técnicas y métodos para obtener la antiderivada de una función. Ellos tienen la intención de simplificar la solución transformando la integral en una o varias de menor nivel de dificultad.

Integración por sustitución:

Es un uso de la regla de la cadena vista a la inversa ∫▒〖∅(u(x) )u´(x)dx=〗 ∫▒〖∅(u(x) )u´(x)dx=〗 ∫▒〖∅(v)dv ;siendo v=u(x)〗:

Ejemplo:

Determinar ∫▒(3x^2 dx)/√(5x^3+1)

Obsérvese que el numerador del integrando es un polinomio de grado una unidad menor que el del polinomio que está en la cantidad subradical del denominador. El numerador es un múltiplo del la derivada de la cantidad subradical del denominador. Hagamos la sustitución u=5x^3+1

du=15x^2 dx□(⇒┬ ) dx=du/(15x^2 )

Sustituyendo en la integral se tiene:

∫▒(3x^2)/√u du/(15x^2 )=3/15 ∫▒du/√u=3/15 u^((-1)/2+1)/((-1)/2+1)+C=1/5 u^(1/2)/(1/2)+C=2/5 √u+C

Restituyendo la variable original:

∫▒(3x^2 dx)/√(5x^3+1)=2/5 √(5x^3+1)+C

Integración por partes:

Basado en la igualdad dy=y´dx. En primer lugar tomemos un producto de funciones usando la notación de Leibniz:

(uv)´dx=u´vdx+uv´dx

De aquí se de

∫▒〖(uv)´〗 dx=∫▒〖u´v〗 dx+∫▒〖uv´〗 dx; por el concepto de antiderivada ∫▒〖(uv)´〗 dx=uv. Usando este hecho en la igualdad podemos concluir que:

∫▒〖uv´〗 dx=uv-∫▒〖u´v〗 dx o bien ∫▒u dv=uv-∫▒v du

En cada integral de esta igualdad se tiene una función multiplicada por la diferencial de la otra.

EJEMPLO:

Determinar ∫▒〖x lnx dx〗.

En esta expresión están presentes una función (u) y la diferencial de la otra (vdx). Es conveniente hacer una elección adecuada de cual parte jugará cada papel: función o diferencial. Esto se debe a que una elección desacertada puede complicar el problema más que hacerlo menos complicado.

■(u=lnx@@dv=x)□(⇒┬ ) {█(du=dx/x@@v=∫▒xdx)┤ □(⇒┬ ) {█(du=dx/x@@v=x^2/2)┤

Sustituyendo en la fórmula:

∫▒xlnxdx=x^2/2 lnx-∫▒x^2/2 dx/x=x^2/2 lnx-1/2 ∫▒xdx=x^2/2 lnx 1/2-1/4 x^2+C

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

Es el caso de de integración de funciones racionales ∫▒〖(P(x))/(Q(x)) dx〗, es decir aquellas que resultan del cociente de dos polinomios. Nos referiremos al caso en que el denominador sea de mayor grado que el numerador .

Verificaremos varios casos:

I.- El denominador no tiene raíces múltiples:

∫▒〖(P(x))/(Q(x)) dx〗=∫▒〖(P(x)dx)/((x-x_1 )(x-x_2 )…(x-x_n))=〗 ∫▒(∑_(i=1)^n▒∏_(j≠i)▒〖(x-x_j)〗)/(∏_(i=1)^n▒(x-x_i ) )=∑_(i=1)^n▒∫▒A_i/((x-x_i))

El cálculo de los A_i se puede hacer por coeficientes indeterminados o por sustitución en el polinomio:

N(x)=∑_(i=1)^n▒∏_(j≠i)▒〖(x-x_j 〗)=

A_1 (x-x_2 )(x-x_3 )…(x-x_n )+A_2 (x-x_1 )(x-x_3 )…(x-x_n )+⋯+A_n (x-x_1 )(x-x_2 )…(x-x_(n-1))

Obsérvese que el polinomio N(x) tiene en cada sumando un todos menos un factor de Q(x). en el sumando de coeficiente Ai falta el factor x-xi. Adicionalmente el polinomio N(x) es igual a P(x).

Ejemplo:

Determinar ∫▒dx/(x^2-4)

Es claro que el numerador es constante y el denominador se puede factorizar y sus raíces no son múltiples ya que: x^2-4=(x-2)(x+2)

Aplicando la fórmula propuesta queda:

∫▒dx/(x^2-4)=∫▒〖A/(x-2) dx+∫▒〖B/(x+2) dx〗〗

N(x)=A(x+2)+B(x-2)=(A+B)x+2A-2B

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