Integrales Resueltas Indefinidas

CÁLCULO DE INTEGRALES

1.-Calcula las siguientes integrales:

a) ; b) ; c) ;

Solución: Todas ellas se resuelven por partes y la fórmula del método es

a) .

+C

b) I=

c)

=

2.-Integra las siguientes funciones racionales:

a) ; b)

c) ; d)

Solución:

a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la de¬rivada del denominador, por tanto,

b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador:

c) La tercera la descomponemos en dos integrales:

d) La cuarta se resuelve realizando previamente la división. Y podemos realizarla por Ruffini

Hecha la división se obtiene de cociente x+1 y de resto 2

3.-Calcula las siguientes integrales:

a) ; b)

Solución: Las dos se resuelven aplicando el método de integración por partes dos veces:

a)

; (*) donde

Hacemos nuevamente

Y volviendo nuevamente a la expresión (*) obtenemos el resultado fi¬nal:

b)

. Aplicamos nuevamente el método de integración por partes:

4.-Integra la siguiente función racional: I=

Solución:

Como no puede obtenerse en el numerador la derivada del denomina¬dor, utilizaremos el método de descomposición en fracciones simples, ya que el denominador tiene raices reales.

Como los numeradores son iguales los denominadores también lo serán:

Para x = 3, 7 = A; Para x = 2, 5 =  B

(A x se le han dado los valores de las raices del denominador.).

Ahora procedemos de la siguiente manera:

I= 7L*x-3*-5L*x-2*

5.-Calcula por el método más adecuado las siguientes integrales:

a) b)

Solución

a) La primera la resolvemos por un sencillo cambio de variable:

b) La segunda es una integral en la que el numerador puede transfor¬marse en la derivada del denominor:

6.-La función f(x)=2x+5 tiene infinitas primitivas que difieren en una cons¬tante. ¿Cuál de estas funciones toma el valor 18 para x=2?

Solución:

Como toma el valor 18 para x=2 re¬sulta: . La función buscada es:

7.-Halla una función cuya derivada sea y que se anule para x=1.

Solución:

Buscamos la integral indefinida de f(x) que es:

Como se anula para x=1 tenemos:

y se obtiene que C= - 1/6, por tanto, la función buscada es

8.-Halla la función G tal que G"(x)=6x+1; G(0)=1 y G(1)=0

Solución:

Nos dan la segunda derivada por lo que tenemos que integrar dos ve¬ces:

De G(0)=1 resulta: D=1 , (después de sustituir la x por 0.)

De G(1)=0 obtenemos: 1+1/2+C+1=0 ,(después de sustituir la x por 1) por lo que

C = -5/2.

La función que buscamos es la siguiente:

9.-Dada la función f(x)=6x halla la primitiva que pasa por el punto A(1,2).

Solución: Hallamos la integral indefinida:

que es el conjunto de todas sus primitivas.

Ahora buscamos la que pasa por el punto (1,2):

lo que indica que C= 1, por tanto, la primitiva busca¬da es

10.-Resolver la integral

Solución: Es impar en senx por lo que hacemos el cambio cosx=t

con lo que -senx.dx=dt. Entonces:

=

=

= =

11.- Calcula por el método más adecuado la siguiente integral:

Solución:

=

= =

= = ctgx

Resolvemos ahora la integral

...