NOTACIONES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS

MATEMÁTICAS II [pic 1]

Octubre de 2018

Contenido

INTEGRACIÓN        4

NOTACIONES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS        4

INTEGRALES INMEDIATAS        5

Integral de una constante        5

Integral de una potencia        5

Integrales logarítmicas        6

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA        7

Integrales de la suma        7

Integrales de la resta        7

TABLA DE FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN        8

EJERCICIOS PROPUESTO        11

DESARROLLO        12

INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLES        43

Método de sustitución        43

Pasos para integrar por cambio de variable        43

EJERCICIO PROPUESTO POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE        44

BIBLIOGRAFÍA        85

INTEGRACIÓN

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

[pic 2]

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[pic 3]

NOTACIONES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por [pic 4]

Se lee: integral de  de  diferencial de .[pic 5][pic 6][pic 7]

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: [pic 8]

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

INTEGRALES INMEDIATAS

Integral de una constante  

1. La integral de una constante es igual a la constante por x

[pic 9]

[pic 10]

1. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

[pic 11]

1. Integral de Cero

La integral de cero (0) por el diferencial dx,  es igual a la constante de integración.

[pic 12]

1. Integrales por el diferencial de x

La integral por el diferencial de x es igual a x + C

[pic 13]

1. Integral de la inversa de x

La integral de la inversa de x es igual logaritmo natural de x más la constante de integración  

[pic 14]

Integral de una potencia

1. Integral de una potencia simple

La integral simple es cuando se calcula la función identidad [pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

1. Regla de la potencia para Integración

[pic 18]

A ésta le llamamos la regla de la potencia para integración. Observe que  es la diferencial de, es decir . En forma matemática breve, podemos reemplazar  por  y  por [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Si  es diferenciable, entonces:[pic 26]

[pic 27]

1. Integral de una función

[pic 28]

Integrales logarítmicas

1. Integral de logarítmica

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1. Integral de funciones con la exponencial natural

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

1. Integral de una función exponencial

La integral de una función exponencial es igual a la exponencial elevada a una función por la derivada de la función

[pic 35]

1. Integral de un cociente especial

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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Integrales de la suma

1.  La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

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Integrales de la resta

1.  La integral de una resta de funciones es igual a la resta de las integrales de esas funciones.

[pic 38]

TABLA DE FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN

Integral de la resta y suma

[pic 39]

[pic 40]

Integral de una constante

[pic 41]

Integral de la una constante por una función

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Integral de la potencia

[pic 43]

[pic 44]

Regla de la potencia para Integración

[pic 45]

Si  es diferenciable, entonces:[pic 46]

[pic 47]

Integral por el diferencial

[pic 48]

Integral de la inversa de x

[pic 49]

Integral de cero

[pic 50]

Integral de una función.

[pic 51]

Integral de una función exponencial.

[pic 52]

Integral logarítmica.

[pic 53]

[pic 54]

Integral de la función exponencial

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

Integral de un cociente especial

[pic 59]

EJERCICIOS PROPUESTO

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DESARROLLO

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Usando [pic 76]

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[pic 78]

Dado que la integración es lineal, la integral de  respecto a , usaremos la propiedad de la integral de la resta [pic 79][pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

Ya que 3 y 4 son constantes usaremos las siguientes propiedades. Integral de una constante y la integral de una constante por una función.

[pic 83]

[pic 84]

Entonces:

[pic 85]

Ahora evaluaremos cada integral por separado ya que cada una tiene propiedades que aplicar.

[pic 86]

Por la regla de la potencia

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Resolvemos

[pic 88]

Ahora evaluaremos el segundo término con la propiedad de la integral de una constante

[pic 89]

[pic 90]

Resolvemos

[pic 91]

Unificando los términos y agregando la constante de integración tenemos como resultado.

[pic 92]

[pic 93]

Dado que la integración es lineal, la integral de  respecto a , usaremos la propiedad de la integral de la resta.[pic 94][pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

Ya que 5 y -4 son constantes usaremos las siguientes propiedades. Integral de una constante y la integral de una constante por una función.

[pic 98]

[pic 99]

Entonces:

[pic 100]

Ahora evaluaremos cada integral por separado ya que cada una tiene propiedades que aplicar.

[pic 101]

[pic 102]

Resolvemos

[pic 103]

Ahora evaluemos el segundo término.

[pic 104]

...