Integrales. Antiderivada o integral indefinida

Integrales

Considérese el significado de la palabra Integrales tan importante en el campo matemático como las Derivadas, ya que estas son la acción apuesta a este proceso, según el Teorema Fundamental de Cálculo. Las integrales son la herramienta para calcular «El área bajo la curva» como lo describen en ingeniería, se trata pues del espacio comprendido entre el tramo de recta real delimitado por dos puntos y los dos puntos perfectamente paralelos de la curva que esta siendo estudiada. Al unir estos cuatro puntos se forma un área cerrada, gráficamente es esa una integral de una función.

Las Integrales y las derivadas son herramientas ambiguas, ya que se descubrió que cuando una función es derivada, el proceso de integración regresa a la función a su estado original, estos procesos son tan usados en el análisis matemático en los estudios y aplicaciones de la ingeniería, que se les da una importancia trascendental en la educación.

Antiderivada o integral indefinida

La antiderivada (también llamada integral indefinida), es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración. 

Por otra parte, recordemos que una función algebraica es aquella que puede expresarse mediante un número finito de términos usando las operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Un ejemplo de una función algebraica es $f(x)=3x^{3}-2x^{2}+4x-2$.

Reglas básicas de integración:

Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por la variable [pic 1].

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Integral de cero

La integral de cero es igual a la constante [pic 3].

[pic 4]

Integral de una potencia

La integral de una potencia es igual a la variable elevada a la potencia [pic 5] sobre [pic 6] sumando una constante.

[pic 7]

[pic 8]

Integrales inmediatas:

Integrales inmediatas son las que salen directamente por la propia definición de integral, es decir, la que se puede resolver de forma más o menos intuitiva pensando en una función que cuando se derive me dé la que está en la integral.

Método de sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

[pic 9]

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

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1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

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2Se sutituye la diferencial en la integral:

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3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

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