La integral indefinida

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN

CALCULO INTEGRAL

UNIDAD 2

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

2 “A”

ALUMNO: AVIÑA BARRAGAN RAYMUNDO

MENDOZA CORTES ANDRES

INDICE

2.1 DEFINICION DE INTEGRAL INDEFINIDA

2.2 PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS

2.3 CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS

2.3.1 DIRECTAS

2.3.2 CON CAMBIO DE VARIABLE

2.3.3 TRIGONOMETRICAS

2.3.4 POR PARTES

2.3.5 POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

2.3.6 POR FRACCIONES PARCIALES

2.1 DEFINICION DE INTEGRAL INDEFINIDA

La integral indefinida es una operación fundamental en el cálculo que nos permite encontrar la función primitiva de una función dada. Al calcular la integral indefinida de una función, estamos buscando una función cuya derivada sea la función original. Esto es esencial en el análisis matemático, ya que nos permite entender el comportamiento de las funciones y resolver una amplia gama de problemas en áreas como la física, la ingeniería, la economía y muchas otras.

Al utilizar el símbolo ∫ para representar la integral indefinida, realizamos el proceso de integración para obtener una familia de funciones que difieren entre sí por una constante, conocida como constante de integración. Esta constante surge debido a que al derivar una constante siempre obtenemos cero, por lo que al calcular la integral indefinida, no podemos determinar el valor exacto de dicha constante.

Matemáticamente, si tenemos una función f(x), su integral indefinida se denota como ∫f(x) dx y su resultado es F(x) + C, donde F(x) es la función primitiva de f(x) y C representa la constante de integración.

La integral indefinida nos brinda herramientas poderosas para resolver problemas complejos que involucran cantidades variables y tasas de cambio. Además, nos permite entender conceptos clave como el área bajo una curva, el cálculo de volúmenes mediante secciones transversales y muchos otros conceptos fundamentales en matemáticas aplicadas.

2.2 PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS

1. *Linealidad de la integral indefinida:* Esta propiedad establece que la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. En otras palabras, ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx.

2. *Regla de la constante:* La integral de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función. Matemáticamente, esto se expresa como ∫k * f(x) dx = k * ∫f(x) dx, donde "k" es una constante.

3. *Integración por partes:* Esta propiedad se basa en la regla del producto en la diferenciación y nos permite integrar el producto de dos funciones. Se expresa como ∫u dv = uv - ∫v du, donde "u" y "v" son funciones que se eligen estratégicamente.

4. *Sustitución trigonométrica:* Se utiliza para integrar funciones que contienen expresiones trigonométricas. Consiste en realizar un cambio de variable trigonométrico para simplificar la integral original.

5. *Propiedad del valor absoluto:* La integral de una función continua en un intervalo cerrado es siempre un número real positivo o cero.

6. *Propiedad del cambio de variable:* Permite transformar una integral indefinida en otra mediante un cambio adecuado de variable, lo que facilita la resolución de integrales más complejas.

7. *Propiedad de simetría:* Al integrar funciones pares, el resultado es proporcional al área bajo la curva entre los límites de integración y alrededor del eje vertical.

2.3 CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS

El cálculo de integrales indefinidas se realiza mediante el proceso de encontrar la función primitiva de una función dada. Esto significa que buscamos una función cuya derivada sea la función original que estamos integrando.

La notación utilizada para representar la integral indefinida es ∫f(x) dx, donde f(x) es la función que queremos integrar con respecto a x. La solución general de esta integral es F(x) + C, donde F(x) es la función primitiva (o antiderivada) de f(x) y C es la constante de integración.

Para calcular una integral indefinida, se pueden utilizar diversas técnicas, como la regla de potencias, integración por partes, sustitución trigonométrica, sustitución trigonométrica, entre otras. La elección de la técnica adecuada depende de la forma de la función que estamos integrando.

En términos generales, el proceso para calcular una integral indefinida implica los siguientes pasos:

1. Identificar la función que queremos integrar.

2. Aplicar las reglas de integración correspondientes para obtener la función primitiva.

3. Agregar la constante de integración "C" al final del resultado, ya que al derivar una constante siempre obtenemos cero.

2.3.1 DIRECTAS

Las integrales indefinidas directas se refieren a aquellas integrales cuya solución puede obtenerse directamente aplicando las reglas de integración básicas. Estas reglas incluyen la integración de funciones polinómicas, funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y funciones racionales simples.

A continuación, te proporcionaré algunos ejemplos de integrales indefinidas directas junto con sus soluciones:

1. *Integración de funciones polinómicas: *

   - Ejemplo: ∫(3x^2 - 2x + 5) dx

   - Solución: x^3 - x^2 + 5x + C

2. *Integración de funciones trigonométricas: *

   - Ejemplo: ∫sin(x) dx

   - Solución: -cos(x) + C

3. *Integración de funciones exponenciales y logarítmicas: *

   - Ejemplo: ∫e^x dx

   - Solución: e^x + C

4. *Integración de funciones racionales simples: *

   - Ejemplo: ∫(1/x) dx

   - Solución: ln|x| + C

Estos son solo algunos ejemplos de integrales indefinidas directas. En cada caso, la solución se obtiene aplicando directamente las reglas de integración correspondientes a cada tipo de función.

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