La Integral Indefinida

CAPÍTULO I

LA INTEGRAL INDEFINIDA

El problema resuelto, hasta este punto, es el siguiente “ dada una función , hallar su derivada” ; sin embargo muchas aplicaciones del análisis matemático están relacionados con el problema inverso “ dada la derivada de una función , hallar la función ” . Por ejemplo se pide encontrar la función cuya derivada es :

F’ (x ) = 9x ² + 5

De acuerdo con las reglas y fórmulas de derivación , se diría que :

F ( x ) = 3x 3 + 5 x porque

A la función F , se le llama ANTIDERIVADA de la función F’ . Convencionalmente se utilizará la expresión “ F(x ) es una antiderivada de f (x ) ” o equivalentemente “ F es una antiderivada de f ”.

DEFINICIÓN.- Una función F definida sobre un subconjunto I de los números reales, se llama una antiderivada ( o Primitiva ) de la función f tal que ,

f : I IR , si para todo x є I , F’ ( x ) = f ( x )

La operación que hace corresponder a cada función una antiderivada , se llama “Antiderivación ”

NOTACIÓN.- La antiderivada de una función, se denota con una letra mayúscula.

En la definición se dice que F es una antiderivada de f ,para explicar esto considérese el ejemplo dado al inicio , además el hecho de que : F ( x ) = 3x 3 + 5 x ,

G (x) =3x 3 + 5 x + 6 , H (x) = 3x 3 + 5 x – 2 y M (x) = 3x 3 + 5 x -9

todas ellas son antiderivadas de 9x ² + 5 . Nótese que F, G, H y M difieren entre sí en una constante.

TEOREMA 1.1 ( de la función constante ) .- Si f es una función definida sobre un intervalo I en IR , tal que f ’ ( x ) = 0 , , entonces f es constante en I .

Demostración.

Suponga que f no es constante en el intervalo I , entonces existen dos números reales x, z en I , siendo x < z tal que : f ( x ) ≠ f ( z ) .......................... ( 1 )

Por otro lado, f ’ (x) = 0 ,  x , z  , lo cual implica que f es continua en  x , z 

Por el teorema del valor medio para derivadas ,  c ϵ < x , z >, tal que ,

Siendo f ‘ ( x ) = 0 ,  x , z  , entonces,

de donde f ( z ) = f ( x ) ...............................................................................( 2 )

Se ha llegado a una contradicción con lo supuesto en ( 1 )

Por consiguiente, f es constante en I .

TEOREMA 1.2 ( De la diferencia constante ) .- Si f y g son dos funciones derivables , definidas sobre un intervalo común I tales que f ’ ( x ) = g ’ ( x ) , para todo x en I , entonces existe una constante C de manera que :

f ( x ) = g ( x ) + C , x ϵ I

Demostración

Sea H la función definida en I por H ( x ) = f ( x ) – g ( x )

Siendo ambas funciones derivables , entonces H es derivable , además

H’ ( x ) = f ’ ( x ) - g ’ ( x )

Pero f ’ ( x ) = g ’ ( x ) , x ϵ I , luego H’ ( x ) = 0 , x ϵ I

Por tanto , existe una constante C  IR , tal que

H ( X ) = C , x ϵ I

En consecuencia f ( x ) – g ( x ) = C

Por consiguiente f ( x ) = g ( x ) + C

Estos teoremas permiten representar toda una familia de antiderivadas de una función mediante la adición de una constante a una antiderivada conocida . por ejemplo , una antiderivada de la función f ( x ) = Cos x es F ( x ) = Senx ; la familia de todas las antiderivadas de f pueden representarse por G ( x ) = Sen x + C , siendo C una constante real .

A la función G se le llama antiderivada general de f , o se dice que G es solución general de la ecuación G’ ( x ) = Cosx

Geométricamente, la antiderivada general de una función f sobre el intervalo I , es una familia de curvas paralelas, cada uno de los elementos de la familia se ubica a C unidades de la antiderivada con C = 0

OBSERVACIÓN.- si una función tiene una antiderivada entonces ella admite infinitas antiderivadas, todas ellas difieren en una constante.

Si F es una antiderivada de la función f con y = F ( x ) , entonces

F’ ( x ) = f ( x )

Equivalentemente ,

dy = f ( x )

dx

cuando se trata de resolver una ecuación de este tipo, donde intervienen funciones y derivadas (Ecuación diferencial ) , es conveniente escribir en la forma diferencial , de allí que ,

dy = f ( x ) dx

DEFINICIÓN .- La operación de encontrar las soluciones de esta ecuación ( O hallar la antiderivada general de f ) se llama integración y se denota mediante el símbolo

, de modo que ,

f (x) dx = F ( x ) + C

en esta notación :

f (x) dx : se llama integral indefinida de la función f , la diferencial dx indica la variable de integración ( x ) . A la expresión f ( x ) dx se le llama elemento de integración o integrando . F ( x ) es una primitiva de f.

La naturaleza inversa de la integración y la diferenciación se pone de manifiesto en esta definición,

...