Analisis Numerico .Integral Indefinida

Capítulo III

3.- Integral Indefinida

3.1.- Introducción

El estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente:

Dado una función hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, que den solución con el problema inverso, es decir: Dada la derivada de una función, hallar tal función, por ejemplo: f′(x) = 5, g′(x) = 7x6, ahora el problema es hallar f(x) y g(x), pero con un poco de astucia se puede hallar dichas funciones, esto es:

        f(x)        =        5 puesto que f′(x) = 5

        g(x)        =        x7 puesto que g′(x) = 7x6

esta operación de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa de la derivada y la llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.

3.2.- La antiderivada de una función.

Definición. - La función F: I −→ R, se llama la antiderivada o primitiva de la función f: I −→ R, si:

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I;(I = [a])

Ejemplo. - Sea f(x) = 7x6 y g(x) = 4e4x, ∀x ∈ R, las funciones F(x) = x7 y G(x) = e4x, para x ∈ R son las antiderivadas de las funciones f(x) y g(x) respectivamente. Puesto que:

[pic 1]

Sin embargo, las funciones F1(x) = x7 + 5 y G1(x) = e4x + 7 también son antiderivadas de las funciones f(x) = 7x6 y g(x) = 4e4x así respectivamente: puesto que:

[pic 2]

análogamente, otras antiderivadas de f(x) y g(x) son por ejemplo: F2(x) = x7 − 4, F3(x) = x7 − 4π,F4(x) = x7 − a,G2(x) = e4x − 7,G3(x) = e4x − eπ,G4(x) = e4x + 6, donde a y b son constantes cualesquiera, puesto que deriva son iguales a f(x) y g(x) respectivamente. En general, si F(x) es una atiderivada de f(x) es decir que F ′(x) = f(x), por lo tanto F(x) + c, tambien es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su derivada es igual a la funci´on f(x), es decir:

(F(x) + c)′ = F ′(x) = f(x)

3.3.- La antiderivada General.

Definicio´n.- Si la antiderivada de f(x) es F(x) sobre un Intervalo I. Entonces la funcio´n G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de f(x).

El significado geom´etrico de la antiderivada F(x) de f(x), es que cualquier otra antiderivada de f(x) es una curva paralela al gr´afico de y = F(x).

Observacio´n.- Resulta claro que el ca´lculo de antiderivadas o primitivas no determinan una u´nica funci´on, si no una familias de funciones que d´ıfieren entre si en una constante. El proceso del ca´lculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integracio´n, y se denota por el s´ımbolo R , llamado signo de integracio´n, el s´ımbolo R f(x)dx, se llama integral indefinida de f(x),

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