Analisis Numerico

Dilatacion de los Materiales

A lo largo de los años se han utilizado reglas de diferentes materiales como lo son el aluminio, la madera y el acero, siendo 1 metro la medida mas comun de estas reglas.

Se ha comprobado cientificamente que la temperatura del ambiente puede modificar la longitud de estos materiales, provocando errores en mediciones que se realizan en muchos tipos de situaciones.

El metro ha sido una herramienta elemental a lo largo de los años, ya que se a estandarizado su medida y se utiliza en todo tipo de construcciones grandes hasta pequeños trabajos.

Cuando un cuerpo se somete a una elevacion de temperatura, se alarga. Y al contraio, cuando se somete a un descenso de temperatura, se contrae. Las variaciones de longitud se puede calcular a partir de la siguiente relacion:

δt = a L ΔT

donde

δt = cambio de longitud debido a la variacion de temperatura.

a = coneficiente de dilatacion lineal

L = longitud original

ΔT = variacion de temperatura = Tfinal – Tinicial

el coeficiente de dilatacion lineal es una constante para cualquien material. Se expresa en unidades por unidad de longitud, por grados Celsius. En la siguiente tabla, se muestran los coeficientes de dilaacion termica de varios materiales.

Material

Coeficiente Lineal de expresion

Coeficiente lineal de expansion

Acero

0.0000065

0.000012

Aluminio

0.0000125

0.000023

Laton

0.000010

0.000020

Bronce

0.000010

0.000020

Cobre

0.0000093

0.000017

Concreto

0.0000062

0.000011

Madera

0.000003

0.0000055

2

Es necesario conocer la dilatacion del material a diferentes temperaturas, para conocer un error aproximado para ciertos climas y prevenir calculos fallidos en nuestros trabajos.

Es tambien muy importante porque en muchos eventos en los que se pretende dar medidas exactas, como piezas metalicas pequeñas, o vigas grandes en construcciones, se necesita conocer que tanto se dilata el material que se esta utilizando para asi evitar errores y prevenir desperfectos o desastres mayores. Es por eso, que en este experimento se quiere conocer la dilatacion de una regla de un metro, en sus diferentes presentaciones.

Con este experimento se quiere calcular la dilatacion del aluminio, la madera y el acero en las reglas de 1 metro para determinar el error promedio de medicion para ciertas temperaturas a lo largo del año, pero tomando una muestra de un dia en la zona metropolitana de guadalajara.

Experimento.

Se tienen 3 reglas de 1 metro de longitud, una de aluminio, una de madera y una de acero. Conocemos que el coeficiente lineal de expansion o coeficiente de dilatacion es de 0.000012 para el acero, 0.000023 para el aluminio y 0.0000055 para la madera.

Se pronostica un dia caluroso en el mes de junio con temperaturas minimas de 17°C y maximas de 32°C. Se quiere determinar la diferencia de dilatacion que mostraran las 3 reglas desde la temperatura minima registrada en el dia, hasta la temperatura maxima que se tuvo.

En este experimento, utilizaremos el metodo de Interpolacion de Newton en diferencias divididas. Los valores de nuestra tabla se obtendran de la formula de dilatacion o cambio de longitud de los materiales y se buscara por medio del valor interpolar la dilatacion de los materiales a los 32°C.

Para la formula δt = a L ΔT, tomaremos a como el coeficiente de dilatacion, L como 1 metro que es la longitud de la regla y Tinicial como 17°C que es la temperatura minima registrada en el dia.

Vamos a utilizar a las X como las diferentes temperaturas del dia, en una escala de 10°C a 40°C con una variacion de 10°C entre cada una de ellas. Despues se calcularan las Y que equivalen en nuestro experimento a δt que es la longitud de la dilatacion de nuestro cuerpo. Con el analisis crearemos nuestra tabla para interpolar y tomaremos como valor interpolador a 32°C que es la temperatura maxima en el dia, y compararemos asi con 17°C que es la minima del dia. Asi sabremos cuanto se dilata cada uno de nuestros diferentes materiales y prodemos comparar entre ellos.

3

Regla de Aluminio

a = Coef. Dilatacion = 0.000023

δt = a L ΔT = a L (Tfinal - Tinicial)

Y = (0.000023)(1metro)(X-17)

Y1 = (0.000023)(1metro)(10-17) = -1.61x10-4

Y2 = (0.000023)(1metro)(20-17) = 6.9x10-5

Y3 = (0.000023)(1metro)(30-17) = 2.99x10-4

Y4 = (0.000023)(1metro)(40-17) = 5.29x10-4

f[Xi, Xi+1] = (6.9x10-5 + 1.61x10-4) / (20 – 10) = 2.3x10-5

f[Xi, Xi+1] = (2.99x10-4 – 6.9x10-5) / (30 – 20) = 2.3x10-5

f[Xi, Xi+1] = (5.29x10-4 – 2.99x10-4) / (40 – 30) = 2.3x10-5

f[Xi, Xi+1, Xi+2] = (2.3x10-5 -2.3x10-5) / (30-10) = 0

f[Xi, Xi+1, Xi+2] = (2.3x10-5 -2.3x10-5) / (40-20) = 0

X

Y

f[Xi, Xi+1]

f[Xi, Xi+1, Xi+2]

f[Xi, Xi+1, Xi+2, Xi+2]

10

-1.61x10-4

2.3x10-5

0

0

20

6.9x10-5

2.3x10-5

0

30

2.99x10-4

2.3x10-5

40

5.29x10-4

Xo = 32

Yo = Ao + A1 (Xo-X1) + A2 (Xo-X1)(Xo-X2) + A3 (Xo-X1)(Xo-X2)(Xo-X3)

...