Trabajo De Analisis Numerico

Un recipiente de longitud L=10 pies tiene una sección transversal en forma de Semicírculo con radio r=1 pie (ver ilustración). Cuando se llena con agua hasta una Distancia h desde la par te superior, el volumen del agua es:

V=L[0.5πr^2-r^2 arcsen(h⁄r)-h√(r^2-h^2 )]

El volumen de agua fue medido y es igual a 12,4 pies 3. Se desea conocer la Profundidad del agua en el recipiente.

Estudio Previo

Aplicando el Método de Bisección

Reemplazando las condiciones iniciales que han sido presentadas en la ecuacion respectivamente, obtenemos la siguiente ecuacion:

RTA: L=10 pies V=12,4 pies r=1 pies

10(0,5π-arcsenh-h√(1-h^2 ))=12,4

5π-10arcsenh-10h(1-h)=12,4

-10arcsenh-10h+10h^2=12,4-5π

10h^2-20arcsenh+3.70=0

Para conocer donde se encuentra la raíz se grafica la función. Con el fin de obtener el punto de corte, se reescribe la ecuación así:

10h^2-20arcsenh+3.70=0

Graficando

>> h=[-5:0.1:5];

>> x=10*h. ^2-20*asin(h)+370;

>> plot (h,x,'g.','linewidth',0.5)

>> Grid

Para aplicar el método de bisección se toma el intervalo [a, b] = [0,1]

La tolerancia es de TOL=〖10〗^(-2)

Para hallar el valor de t se implementa computacionalmente en Matlab el algoritmo del método usando los siguientes datos

f(h)=10h^2-20arcsenh+3.70

Siendo h=t el numero de iteraciones es

n=1,2,3,…,11

Y el proceso se detendrá hasta que cumpla el criterio de parada

(b^n-a^n)/2≤TOL

Cálculos

Los resultados arrojados por el programa son los siguientes

De donde se observa que la solución aproximada es 0.2070313, por lo tanto, se puede decir que la Profundidad del agua en el recipiente es:

h= 0.20 pies

Aplicando el Metodo de Newton-Raphson

Estudio previo

Para la expresión

10h^2-20arcsenh+3.70=0

Se tomara como raíz inicial P0= 0.207

La Tolerancia es de TOL=10-7

Para hallar t se implementa computacionalmente (en Matlab) el algoritmo del método, usando los siguientes datos

f(h)=10h^2-20arcsenh+3.70

Siendo h=t el numero de iteraciones es

n=1,2,3,…,8

Y el proceso se detendrá hasta que cumpla el criterio de parada

|Pn-Pn-1|≤TOL

Cálculos

De donde se observa que la solución aproximada es 0.2044, por lo tanto, se puede decir que la Profundidad del agua en el recipiente es.

h=0.20 pies

En el análisis de control de sistemas, las funciones de transferencia que se desarrollan matemáticamente relacionan la dinámica de la entrada del sistema con la salida. La función de transferencia para un sistema de posición robótica está dada por:

G(s)=(C(s))/(N(s))=(s^3+9s^2+26s+24)/(s^4+15s^3+77s^2+153s+90)

Donde G(s)= ganancia del sistema, c(s) salida del sistema, N(s) entrada del sistema y s=frecuencia compleja de la transformada de Laplace. Use una técnica numérica (Método de Bairstow) para encontrar las raíces del numerador y del denominador, de tal manera que se pueda factor izar como:

G(s)=((s+a_1 )(s+a_2 )(s+a_3))/((s+b_1 )(s+b_2 )(s+b_3 )(s+b_4))

G(s)= (C (S))/(N (S)) = (S^(3 )+ 〖9S〗^2+ 26S +24)/(S^4+ 〖15S〗^3+ 〖77S〗^2+ 153S+90)

1 9 26 24 -3 (S+3)

( -3 -18 -24)/(1 6 8 ) (S+3) (S+4) (S+2) Numerador

S^2+ GS+8

1 6 8 -4 (S+4)

( -4 -8)/(1 2 0 )

(S+2)

Denominador

1 15 77 153 90 -3 (x+3)

(-3 -36 -123 -90 )/(1 12 41 30 0 )

s^3+ 〖12s〗^2+ 41s+30

1 12 41 30 -1 (s+1)

( -1 -11 -30 )/(1 11 30 0 )

s^2+ 11s+30 G(S)= ((S+3) (S+4) (S+2))/((S+3) (S+1) (S+5) (S+6) )

1 11 30 -5

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