Analisis Numerico

INVESTIGACIÓN

1. ¿CUÁNTAS MANERAS ALGEBRAICAS HAY PARA OBTENER LOS VALORES DE LAS RAÍCES DE UN POLINOMIO?

En otras palabras, lo que se hace es construir una sucesión de números que converja a la raíz.

Es importante señalar que este proceso es infinito. Si fuera finito, sería posible encontrar raíces mediante un determinado número de operaciones básicas (suma, resta, división, multiplicación), pero está demostrado que eso es imposible para un polinomio de grado mayor o igual a 5.

Recordemos que cuando se trata de un polinomio de grado 2, es posible encontrar las raíces mediante la conocidísima formula general. Aunque menos populares, también se conocen fórmulas para los polinomios de grado 3 ´o grado 4 desde el siglo XVI; en ambos casos las formulas implican tantos pasos, que tienen un valor practico casi nulo.

Las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber formulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores. Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

Primero se localiza un intervalo (a, b) en donde f(a) y f (b) tienen signos distintos. Si la función es continua, por el teorema del Valor Intermedio, existe c ϵ (a, b) tal que f (c) = 0.

En otras palabras, la filosofía del método es “divide y conquistaras”:

Se divide el intervalo en partes iguales y mediante el signo de f (x) en el punto medio

m = (a + b) = 2 se determina en cual intervalo se encuentra la raíz.

Se repite lo anterior cuantas veces sea necesario.

Esto se ilustra a continuación en la siguiente figura:

MÉTODO DE NEWTON

Si f (x) es derivable, y f´(x) ≠ 0; entonces, partiendo de una x0 “cercana” a una raíz r nos podemos acercar rápidamente a r. El procedimiento puede resumirse de la siguiente manera:

• Encontramos la recta tangente a la curva en (x0, f (x0)).

• Localizamos la intersección de esta recta en el eje X, esta es la siguiente aproximación.

• Repetimos los pasos anteriores hasta encontrar la aproximación deseada.

MÉTODO DE LA SECANTE

Esta es una variante del método de Newton. La idea fundamental de este método es usar una secante a la curva en lugar de la recta tangente. En resumen, el procedimiento es el siguiente:

• Tomamos dos puntos iniciales distintos, cercanos a la raíz buscada, x0 y x1. Encontramos la recta secante que pasa por los puntos (x0, f (x0)) y (x1, f (x1)).

• Localizamos la intersección de esta recta en el eje X, esta es la siguiente aproximación

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