Analisis Numerico Interpolacion, Derivacion E Integracion

Tema III Interpolación, Derivación e Integración Numéricas

o Diferencias finitas hacia adelante o de avance

Sea una función , continua y diferenciable en el intervalo cerrado x0,xn, la cual es expresada en forma tabular como sigue:

x

x0

x1

.

.

xn y0

y1

.

.

yn

Se definen como primeras diferencias hacia adelante o de avance de a:

donde  es el operador diferencia.

Las segundas diferencias hacia adelante son las diferencias de las primeras diferencias, las terceras diferencias hacia adelante son las diferencias de las segundas diferencias; de manera general las k-ésimas diferencias hacia adelante de una función se pueden obtener como:

• Tabla de diferencias

La función expresada en forma tabular y sus diferencias se pueden agrupar en una tabla de diferencias como sigue:

TABLA DE DIFERENCIAS HACIA ADELANTE DE y=f(x)

x y=f(x) yi yi yi yi yi

x0

x1

x2

x3

x4

.

.

.

xn

y0

y1

y2

y3

y4

.

.

.

yn

y0

y1

y2

y3

y4

.

.

yn-1

y0

y1

y2

y3

y4

.

yn-2

y0

y1

y2

y3

y4

.

yn-3

y0

y1

y2

y3



yn-4

y0

y1

y2

.

yn-5

El proceso de obtención de diferencias es finito y deja de aplicarse cuando una de estas diferencias se vuelve constante o aproximadamente constante, sin anularse; por ejemplo en un polinomio de grado enésimo, puede comprobarse que es posible obtener hasta las n-ésimas diferencias, si el incremento en la variable independiente es constante; por ejemplo: Sean la s funciones, , , ; tabulando algunos pares de puntos y obteniendo sus diferencias hacia adelante:

x

y x

y 2y x

y 2y y

0

1

2

3

4 0

1

2

3

4

1

1

1

1

0

1

2

3

4 0

1

4

9

16

1

3

5

7

2

2

2 0

1

2

3

4 0

1

8

27

64

1

7

19

37

6

12

18

6

6

• Interpolación con incremento constante en la variable independiente

El problema de interpolación consiste en determinar el valor de una función f(x) para un valor de la variable independiente x que se encuentren entre dos valores consecutivos conocidos es decir x0: < xk <x1.

Se considera que la función se aproxima a un polinomio de grado n que coincide con todos los puntos de la función (expresada en forma tabular) y que el incremento de la variable independiente es constante e igual a h:

x

x0

x1=x0+h

x2= x0+2h

x3= x0+3h

.

.

xn=x0+nh y0

y1

y2

y3

.

.

yn

• Polinomio de Interpolación de Avance de Newton

Si se construye una tabla de diferencias para la función antes presentada, será similar a la mostrada en el apartado 3.2 y de acuerdo con dicha tabla de diferencias y la definición de diferencias se puede expresar cualquier valor yi de la función en términos de y0 y de las diferencias hacia adelante de y0 de la siguiente manera:

(1)

Y si:

Sustituyendo en y2:

(2)

Para y3 se sigue un procedimiento similar obteniéndose:

(3)

Las ecuaciones (1), (2) y (3) permiten ver que los coeficientes que multiplican a las diferencias hacia adelante de y0 corresponden a los del binomio de Newton, por lo que se puede escribir para un valor cualquiera yk de la función:

(4)

Desarrollando los números combinatorios:

(5)

La ecuación (5) es el Polinomio de Interpolación de avance de Newton; donde:

yk valor aproximado de la función que desea obtenerse para un valor x= xk

y0 valor de la función, incluido en la tabulación, inmediato anterior al valor que se va a calcular, correspondiente a x0

y0,y0,y0,..., diferencias hacia adelante de y0

k fracción del incremento constante h que debe agregarse a y0 para obtener yk puede calcularse de considerar que ; por lo tanto:

(6)

El polinomio de avance de Newton además de aplicarse a interpolación, permite también realizar extrapolaciones, es decir, determinar valores de la función que no se encuentre dentro del intervalo de la tabulación.

Cuando las diferencias hacia adelante, de

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