LA INTEGRAL INDEFINIDA

SEGUNDA PARTE

La integral indefinida ,la integral definida;

Aplicaciones, convergencia

Prof. JORGE INOSTROZA LAGOS

Prof. CLAUDIO LABBÉ D.

2010

1

INDICE:

1.- LA INTEGRAL INDEFINIDA

Ejercicios Resueltos : 100

2.- METODOS DE INTEGRACIÓN

Ejercicios Resueltos 102

Guía # 1.- Ejercicios Propuestos. 139

3.-LA INTEGRAL DEFINIDA

Ejercicios Resueltos 151

4.- CALCULO DE AREAS PLANAS

Ejercicios Resueltos 157

5.- CALCULO DE VOLÚMENES DE ROTACIÓN.

Ejercicios resueltos 163

6.- LONGITUD DE UNA CURVA

Ejercicios resueltos 179

7.-AREA DE UNA SUPERFICIO DE REVOLUCIÓN

Ejercicios Resueltos 182

Guía # 2 Ejercicios Propuestos 190

8.- INTEGRALES IMPROPIAS

Ejercicios Resueltos 191

9.- ANEXOS.

Series Reales: Ejercicios 194

Series de Potencias:Ejercicios 199

Series de Taylor 202

Series de Fourier 207

2

1.- LA INTEGRAL INDEFINIDA:

Ejercicios Resueltos

Recordemos que:

Si f(x) es una función real, entonces

∫f(x)dx = F(x) ⇔ dF(x)

dx

= f(x)

Usando esto, verifique las primitivas básicas siguientes haciendo la derivada del lado

derecho:

1) 2 2 2

dx

b x − a ∫ =

1

2ab

Ln bx a

bx a

⎛ − ⎞

⎜ + ⎟ ⎝ ⎠

+ C

2) 2 2 2

dx

a + b x ∫ =

1

ab

arctg bx

a + C

3)

2 2 2

dx

a − b x ∫ = 1

b

arcsen bx

a + C

4)

2 2 2

dx

x b x − a ∫ =

1

a

arcsec bx

a + C

5) Verificar:

2 2 2

dx

b x ± a ∫ =

b

1 Ln (bx + b2x2 ± a2 ) + C

6) Verificar: ∫ b2x2 ±a2 dx =

x b2x2 a2

2

±

±

2b

a2

Ln (bx + b2x2 ± a2 ) + C

7) Verificar: ∫ b2x2 ±a2 dx =

x b2x2 a2

2

±

±

a2

2b

Ln (bx + b2x2 ± a2 ) + C

8) Verificar: ∫ a2 − b2x2 dx =

x a2 b2x2

2

−

+

a2

2b

arcsen bx

a + C

9) Verificar: ∫sen2ax dx =

4a

sen 2ax

2

x − + C

3

10) Verificar: ∫cos2ax dx =

4a

sen 2ax

2

x + + C

11) Verificar: ∫Ln(a + bx)dx =

b

1 (a + bx) Ln(a + bx) – x + C

12) Verificar: ∫sec ax dx =

a

1 Ln(secax + tgax) + C =

2a

1 Ln ⎟

⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

−

+

1 sen ax

1 sen ax + C

13) Verificar: ∫cosec ax dx =

a

1 Ln(cosec ax − cotg ax) + C =

2a

1 Ln 1 cos ax

1 cos ax

⎛ + ⎞

⎜ − ⎟ ⎝ ⎠

+ C

En cada caso se deberá derivar el segundo miembro para obtener la función integrando,

es decir, verificar que

dF(x)

dx

= f(x) cuando ∫f(x)dx = F(x).

Buen ejercicio de recapitulación, muy necesario para lo que viene.

En esta tabla básica, en su segunda parte, cada ejemplo será deducido mediante los

siguientes métodos de integración que se presentarán.

4

2.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.-

Ejercicios Resueltos.-

(A) Método de integración inmediata

Se trata de determinar las primitivas a partir de sus propiedades, lo sabido en derivación y

algunos recursos algebraicos, además de los ejemplos logrados en la Tabla Básica.

Ejemplos resueltos

Calcular:

1) ( x 1 )2dx

x

∫ +

Solución:

Desarrollando: ( x 1 )2dx

x

∫ + = (x 2 1)dx

x

∫ + + =

x2

2

+ 2x + Ln x + C//

2) ∫x3 x dx

Solución:

∫x 3 x dx = ∫x4 / 3 dx =

4

3 1

4 1

3

x +

+

+ C =

73 3x

7

+ C//

3) ∫(2ex + 3senx)dx

Solución:

∫(2ex + 3senx)dx = 2∫ex dx + 3∫senx dx = 2ex – 3cos x + C//

4)

3 /2 2/ 3

1/ 4

x x dx

x

+ ∫

Solución:

5

3 /2 2/ 3

1/ 4

x x dx

x

∫ + = ( 3 1 2 1 )

x2 4 x3 4 dx − − ∫ + =

5 5

∫(x4 + x12 )dx = 9 17

4 4 12 12

9 17 x + x + C//

5) u 3du

u

− ∫

Solución:

u 3du

u

− ∫ =

1 1

(u2 3u 2 )du − ∫ + = 3 1

2 2 2 3 u − 6u + C//

6) ( )3

x 1 dx

x

∫ −

Solución:

( )3

x 1 dx

x

∫ − = 3

3

x 3x 3 1 dx

x x

⎛ − + − ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ∫ = 4 2

2

x 3x 3Ln x 1

4 2 2x

− + + + C//

7.- 2 /5

3/5

dx x c

x

∫ = + 2.-

2

( )

1

dx ArcSen x

x

=

−

∫ 3.-

x

x

n

a dx a c

L a

∫ = +

8.- n

Cosx dx L Senx c

Senx

∫ = + 5.- ∫ SecxTgxdx = Secx + c 6.- ∫ Sec2 x = Tgx + c

9.-

5 4

( 2 1)2 ( 4 2 3 3 2 2 1) 3

5 2

∫ x + x + dx = ∫ x + x + x + x + dx = x + x + x + x + c

10.- 3 3/ 2 5/ 2

3/ 2 3 1/ 2 2

( 1) ( 3 3 1 ) 5 3 6 1

2 2

x dx x dx x x c

x x x x x

∫ + = ∫ + + + = + − − + .

(B) Método de sustitución o cambio de variables

Para el caso que la integral ∫f(x)dx sea no inmediata, se propone el cambio de la

variable x por g(t) que, al diferenciarla, tenemos dx = g'(t) dt ; con esto pretendemos que la

nueva integral

∫f(g(t))·g'(t)·dt

sea inmediata.

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Ejemplos resueltos

1) Calcular

2 ∫xex dx

Solución:

Haciendo el cambio x2 = u ⇒ x dx = 1

2 du; sustituyendo:

2 ∫xex dx = 1

2

∫eu du = 1

2 eu + C = 1

2

ex2 + C//

"Siempre debemos regresar a la variable original".

2) Calcular ∫x3sen(3 + x4 )dx

Solución:

Haciendo 3 + x4 = t, tenemos 4x3dx = dt, ó x3dx

...