Integrales

INTEGRAR: es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

INTEGRAR: es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

No me sorprende el interés que suscita la entrada ¿Qué es una derivada? ya que en los libros de matemáticas te lo suelen explicar farragosamente -con alguna excepción- e incluso te encuentras con que en libros de Cálculo para la universidad, te explican más claramente las cosas que en los libros de bachillerato.

Siguiendo pues, la motivación de explicar las cosas tal y como me gustaría que me las hubieran explicado a mi en su día, hablaremos hoy del llamado cálculo integral.

El cálculo integral surgió como necesidad. Newton co-descubrió el cálculo porque necesitaba el aparato matemático para dar coherencia a sus ecuaciones físicas. Ecuaciones en las que las magnitudes variaban de forma instantánea. Piensa en la aceleración o en la velocidad. Darse cuenta de que diversas magnitudes estaban relacionadas entre sí y de qué forma, fue un gran avance para el mundo.

Pero el cálculo no sólo mide tasas de variación, sino tambien prosaicas y tristes superficies planas. Todos sabemos varias fórmulas para calcular áreas de superficies. Pero si no las recordamos, siempre podemos acudir al viejo truco de dividir una superficie en triángulos. Así, nos basta con recordar que la superficie de un triángulo es la mitad del área del rectángulo que forman dos triángulos iguales. Base por altura (dividido por 2).

-¿Y si es un triángulo mal hecho o escaleno?

-Un triángulo mal hecho lo puedes dividir en triángulos rectos (o bien hechos).

Claro que, ¿qué pasa cuando no podemos dividir una superficie en triángulos? Por ejemplo, estamos como cabras y queremos saber cuánto mide la superficie de un filete de ternera.

Los griegos -que tenían mucho tiempo libre-, tenían el truco de descomponer superficies en triángulos, pero ¿cómo aplicar este método tan sexy a un círculo? Pensaron en asemejar lo desconocido a lo conocido y empezaron a cuadrar el círculo. Si metemos dentro de un círculo polígonos que son medibles, al final obtendremos la superficie del círculo.

Aquellos hombres sin calzoncillos empezaron a meter polígonos en el círculo y así pasaron la tarde. Uno que se llamaba Arquímedes llegó a la conclusión de que nunca podrían acabar, que lo que estaban haciendo era una sucesión infinita y que se fueran a sus casas, que tenían a los niños sin cenar.

Él, como tenía a los niños haciendo la mili, se quedó haciendo cuentas. Sin Cálculo y tan sólo a pelo, llegó a cuadrar un segmento de parábola. ¿Qué es cuadrar un segmento de parábola? Pues hallar la fórmula que nos da la superficie que hay entre un trozo de parábola y el eje del que parte (el que está en la base).

Haciendo muchos cálculos, vio que se repetía una relación en la distancia del eje sobre el que dibuja la parábola cuadrática y la superficie. Esta relación es la tercera parte de la distancia al cubo. Este pequeño gran descubrimiento sólo era válido para la parábola cuadrática, pero al menos sirvió para decir "tate, ¿y si existen relaciones análogas con otro tipo de parábolas?".

No poca gente se dejó los ojos y la salud intentando averiguar fórmulas para calcular áreas bajo curvas. Muchos siglos después, Kepler compiló fórmulas de cálculo para diversas superficies curvas, pero seguía sin haber una fórmula general que sirviera para calcular cualquier superficie curva.

Pero

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