Integrales

Taller 1

La Integración

Encontrar la anti-derivada de las siguientes funciones:

f(x)=8

∫▒f(x)dx=8x+C

f(x)=3x+234567432

∫▒〖f(x)dx=3 x^(1+1)/(1+1)+234567432x+C〗

∫▒〖f(x)dx=3 x^2/2〗+234567432x+C

∫▒〖f(x)dx=3/2〗 x^2+234567432x+C

f(x)=x^3+x

∫▒f(x)dx=x^(3+1)/(3+1)+x^(1+1)/(1+1)+C

∫▒〖f(x)dx=〗 1/4 x^4+1/2 x^2+C

f(x)=5x^6-67

∫▒f(x)dx=5 x^(6+1)/(6+1)-67x+C

∫▒〖f(x)dx=5 x^7/7〗-67x+C

∫▒〖f(x)dx=5/7〗 x^7-67x+C

f(x)=cos⁡(x)

∫▒f(x)dx=sen(x)+C

f(x)=((5x^3-12x^10 ))/x^3

∫▒〖f(x)dx=(5x^3)/x^2 -(12x^10)/x^2 〗+C

∫▒〖f(x)dx=5x-12x^8 〗+C

∫▒〖f(x)d=(5x^(1+1))/(1+1)-(12x^(8+1))/(8+1)〗+C

∫▒〖f(x)dx=(5x^2)/2-(12x^9)/9〗+C

∫▒〖f(x)dx=5/2 x^2-4/3 x^9 〗+C

Encontrar todas las funciones cuya derivada es:

f(x)=5x^6

D(x)=5 x^(6+1)/(6+1)+C

D(x)=5 x^7/7+C=5/7 x^7+C

f(x)=559x^8-67x^2

D(x)=559/9 x^9-67/3 x^3+C

f(x)=((5x^4-1x^10))/x^4

D(x)=(5x^4)/x^4 -x^10/x^4 =5-x^6

D(x)=5x-1/7 x^7+C

f(x)=cos⁡(x)

D(x)=sen(x)+C

f(x)=cos⁡(x)+〖sec〗^2 (x)

D(x)=sen(x)+tan⁡(x)+C

f(x)=ln⁡(x)+2

D(x)=1/x+2x+C

Resuelva las siguientes integrales aplicando las propiedades de la integración:

∫▒〖x^2+((5x^5-1x^10 ))/x^4 dx〗

∫▒〖x^2+((5x^5)/x^4 -x^10/x^4 )dx〗=∫▒〖(x〗^2 +5x-x^6)dx

∫▒x^2 dx+∫▒5x dx-∫▒x^6 dx

x^3/3+C_1+5 x^2/2+C_2-x^7/7+C_3=1/3 x^3+5/2 x^2-1/7 x^7+C

∫▒((5x^2-x^10 ))/x^4 dx

∫▒((5x^2)/x^4 -x^10/x^4 ) dx=∫▒(5/x^2 -x^6 ) dx

∫▒5/x^2 dx-∫▒x^6 dx=∫▒〖5x〗^(-2) dx-∫▒x^6 dx

5 x^(-1)/(-1)+C_1-x^7/7+C_2=-5x^(-1)+C_1-1/7 x^7+C_2=-5 1/x+C_1-1/7 x^7+C_2=

5l n⁡(x)+1/7 x^7+C

∫▒(∛(4x^3-3x))(12x^2-3)dx

=∫▒(〖4x〗^3-3x)^(1/3) (12x^2-3)dx

Por el método de sustitución:

t=(4x^3-3x); dt=(12x^2-3); dt/dx=(12x^2-3)→dx=dt/((12x^2-3) )

→∫▒t^(1/3) ((12x^2-3)*dt/((12x^2-3) )=∫▒t^(1/3) *dt=3/4 t^(4/3)+C=

3/4 〖(4x^3-3x)〗^□(4/3)+C=3/4*√(3&〖(4x^3-3x)〗^4 )+C

∫▒〖6((4x^2-4x-8)/(x+1))〗 dx

6∫▒((4x^2-4x-8)/(x+1)) dx=6∫▒4(x^2-x-2)/(x+1) dx=6*4∫▒(x-2)(x+1)/((x+1) ) dx

24∫▒〖x-2〗 dx=24*x^2/2-2x+C=12x^2-2x+C

∫▒〖((x^2+2)^2-4)dx〗

∫▒〖((x^4+4x^2+4)-4)〗 dx

∫▒(4x^4+4x^2+4-4)dx

∫▒〖(4〗 x^4+4x^2)dx

x^5/5+4 x^3/3+C=1/5 x^5+4/3 x^3+C

∫▒〖e^x (e^(-x)-1+e^2x/3)dx〗

∫▒(e^0-e^x+e^3x/3) dx

∫▒(e^0 ) dx-∫▒(e^x ) dx+∫▒(e^3x/3) dx

x-e^x+1/3 ∫▒e^3x dx

Se hace sustitución en la integral:

t=3x

dt/dx=3→dx=dt/3

x-e^x+1/3 ∫▒e^t dt/3=x-e^x+1/9 ∫▒e^t dt

x-e^x+1/9 e^t+C=x-e^x+1/9 e^3x+C

∫▒〖sen(x)/(〖cos〗^2 x) dx〗

∫▒senx/〖(cosx)〗^2 dx

Por sustitución:

t=cosx;dt=senx;dx=dt/senx→

∫▒〖senx/t^2 *dt/senx=∫▒〖1/t^2 dx〗=∫▒t^(-2) dx=〗 t^(-1)/(-1)+C=-1/t+C=-1/cosx+C=-sec(x)+C

∫▒〖x^2/∜(x^3 ) dx〗

∫▒x^2/((〖x^3)〗^□(□(1/4)) ) dx;por sustitución→t=x^3;dt=3x^2;dx=dt/〖3x〗^2 →

∫▒x^2/t^□(1/4) *dt/(3x^2 )=∫▒1/t^□(1/4) *dt/3=1/3 ∫▒1/t^□(1/4) dx=1/3 ∫▒t^□(-1/4) dx=1/3*4/3 t^□(3/4)+C=

4/9 t^□(3/4)+C=4/9 √(4&x^3 )+C

∫▒(x^3+3x^2-18x)/(x-3)(x+6) dx

∫▒(x(x^2+3x-18))/((x-3)(x+6)) dx=∫▒(x(x+6)(x-3))/((x-3)(x+6)) dx=∫▒x dx=x^2/2+C

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