Integrales

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales•

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Integrales Inmediatas

Integrales inmediatas son las que salen directamente por la propia definición de integral, es decir, la que se puede resolver de forma más o menos intuitiva pensando en una función que cuando se derive me dé la que está en la integral.

De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

Ejercicios:

Resolución:

• Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.

Resolución:

Resolución:

• Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,

Por tanto,

Cambios de variables trigonométricos

1.

2.

3.

4.

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si es par:

7. Si no es par:

Ejemplos

1.

2.

* Integración de funciones racionales

Una función racional S(x) definida en un intervalo cerrado [a , b] se puede expresar en la forma:

Siendo P(x) y Q(x) dos polinomios primos entre sí y de forma que Q(x) no se anula en el intervalo [a , b].

En el caso de que el grado del numerador sea mayor que el del denominador, la función puede expresarse como suma de un polinomio G(x) y de una función racional cuyo numerador sea de grado inferior que el denominador, es decir:

Suponiendo que ya tenemos S(x) en esta última forma y que el polinomio Q(x) admite una descomposición del tipo:

Donde a1, a2, … son raíces reales de multiplicidad a,b,..., … respectivamente y b1 ± c1.i , b2 ± c2.i … son raíces imaginarias conjugadas de multiplicidad h, k, … respectivamente, entonces existe la descomposición en fracciones simples del tipo:

Se demuestra que esta descomposición existe y que es única.

La obtención de los coeficientes indeterminados puede hacerse de distintas formas. Así, por ejemplo, escrita a priori, la fórmula de descomposición, con coeficientes indeterminados en los numeradores del segundo miembro, se quitan denominadores multiplicando ambos miembros por Q(x). basta entonces igualar coeficientes de las mismas potencias de x en la igualdad que resulta para formar un sistema lineal de ecuaciones de solución única de las incógnitas buscadas, Aj, Bj, Cj.

En algunos casos puede aplicarse un método sencillo que consiste en ir dando a x cada uno de los valores que son raíces del denominador. Vamos a desglosar el problema de la determinación de los coeficientes indeterminados en tres casos.

Caso de ceros simples reales.

No se precisa aplicar el método de los coeficientes indeterminados, pues si la descomposición en fracciones simples se queda en la forma

Los coeficientes vienen dados por la expresión:

Y la función integral será de la forma:

Ejemplo 1.- Vamos a obtener la función primitiva de:

Esta función descompuesta en fracciones simples quedará en la forma:

Y los coeficientes A1, A2, A3 se pueden obtener por el método de las derivadas. Se tiene, siendo la derivada del denominador 3•x² + 4•x-1:

Por lo tanto, la primitiva buscada será:

Caso de ceros simples imaginarios.

Consideremos el caso más sencillo, en el que el denominador Q(x) es de grado dos. Si sus raíces son a + b•i y a – b•i, se tiene:

Y la fracción queda en la forma:

Así transformada, la función se integra como sigue:

Ejemplo 2.- Calcular la integral de la función:

La descomposición en fracciones simples de esta función nos da:

Y los coeficientes son: A = 1; B = -1; C = 0. De ese modo, la función integrada queda en la forma:

Caso de ceros múltiples.

Si en el denominador hay un factor (x-a)h, esta raíz h-ple origina h fracciones simples:

Mutiplicando por (x-a)h y poniendo F(x) = P(x)/q(x), tenemos:

Los coeficientes se determinan entonces haciendo:

También se puede emplear el método de los coeficientes indeterminados, sobre todo cuando hay raíces imaginarias.

Ejemplo 3.- Considerar la integral de la función:

Quitando denominadores resulta:

Identificando coeficientes y resolviendo se tiene: A = 1 ; B = 2 ; C = 1 y la función queda en la forma:

E integrando:

Una vez estudiados los distintos

...