INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciónes trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.

Hay dos versiones para las integrales que contienen seno y coseno, aqui esta el link para los que la quieran ver Integrales Trigonométricas:Versión 2

o

(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).

Para evaluar

• En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).

• La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos:

1. Cuando n es impar

Cuando , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo , . Como en la expresion no tenemos un multiplicamos ambos lados por y nos queda la expresión que ya podemos sustituir:

2. Cuando m es impar

Cuando , podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear para poder expresar los factores restantes en términos del :

al hacer y tendríamos

3. Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez y , podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo -y- algunas veces nos sera útil utilizar la identidad

seria igual a:

Para evaluar

• Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad .

O bien, puesto que:

, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Tendremos 5 casos:

1. Cuando n es par

separar un factor de y utilice para lograr expresar los factores restantes en términos de :

de esta manera podemos hacer y y el integral quedaría así:

2. Cuando m es impar

apartar un factor de y emplear para poder expresar los factores que restan en términos de :

de esta manera podemos hacer y y nos queda

3.

4.

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en el ejemplo 8.

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a y recordando que:

y

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

• A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmula establecida:

• Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por :

Si se sustituye , después , también, la integral se convierte en:

Así, se tiene:

NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:

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IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRA DE MUCHA AYUDA

Identidades recíprocas

Identidades pitagóricas

Identidades de paridad

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Ejemplos

Ejemplo #1

Evaluar

•

Solución La simple sustitución no va a servir pues .

Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un factor de más. De modo que se puede separar un factor del coseno y convenir el que queda, es decir, , en una expresión que contenga el seno por medio de la identidad

Es útil contar con el factor adicional, luego se evalúa la integral sustituyendo y , y

En general trataremos de escribir un integrado que contenga potencias de seno y de coseno en una forma que contenga un solo factor de seno ( y lo restante de la expresión en términos de coseno) o bien un solo factor coseno ( y lo demás en términos de seno), la identidad nos permite convertir de potencias pares de seno a potencias pares de coseno e inversamente.

Ejemplo #2

Determine

•

Solución Podríamos convertir a pero nos quedaríamos con una expresión en términos de sin factor extra. En vez de eso, separamos un solo factor seno y reescribimos el factor restante en términos de :

Sustituyendo , tenemos luego

En los ejemplos anteriores una potencia impar del seno o el coseno nos permitió separa un factor

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