SUMAS DE RIEMANN E INTEGRALES DEFINIDAS

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA INDOAMÉRICA[pic 2][pic 3]

FACULTAD DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN

TEMA: SUMAS DE RIEMANN E INTEGRALES DEFINIDAS

INFORME Nº 3

AUTOR/ ERS:

DOCENTE:

Calculo Integral

QUITO / ECUADOR 2022

ÍNDICE DE CONTENIDOS

INTRODUCCIÓN        4

OBJETIVOS        4

Objetivo General        4

FUNDAMENTO TEÒRICO        5

Definición de integral definida        5

Pasos para calcular, usando la definición, una integral definida        6

Definición de dos integrales definidas especiales        8

Teorema 10.1        8

Teorema del valor medio para integrales.        9

Definición de integral definida para funciones discontinuas        10

Ejercicio 1 de las sumas de Riemann        11

CONCLUSIONES        14

RECOMENDACIÓN        14

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS        15

ANEXOS        16

ÍNDICE DE FIGURAS

Ilustración 1Biblioteca virtual UTI        16

Ilustración 2Biblioteca virtual UTI        16

INTRODUCCIÓN

En la sesión precedente se hizo una introducción al concepto de integral definida, junto al cal- culo aproximado de integrales definidas, a través del cálculo de sumas de Riemann particulares. En   esta   sesión   se   revisa   con   más   detalle   la definición de integral definida, junto a sus principales propiedades y se calculan exactamente integrales definidas de funciones sencillas, usando la definición correspondiente.

OBJETIVOS

Objetivo General

Los estudiantes puedan realizar la resolución de integrales definidas, mediante la aplicación de software, con el fin de realizar la verificación de resultados por medios analícos y por medios digitales.

FUNDAMENTO TEÒRICO

        Definición de integral definida

Sea y   = f (x) una función continua en [a, b]. Dividamos este intervalo en n subintervalos de igual longitud ∆x =   Elijamos un punto xi en cada uno de los n subintervalos. SE LLAMA INTEGRAL DE RIEMANN O INTEGRAL DEFINIDA de y = f (x) en [a, b], al siguiente límite, cuando existe,[pic 4]

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El que se denota por [pic 6]

Es decir

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Observación:  La notación de integral definida                    se lee “integral definida entre a  y  b de  la  función  f .[pic 8]

Nota 10.1 Recordando la definición del área bajo una curva, revisada en la sesión precedente, se tiene que sí y = f (x) es una función continua y no negativa en [a, b]. El área, A, de la región R del plano ubicada bajo la curva C, gráfico de y = f (x), sobre el eje X y entre las rectas x = a y x = b, viene dada por[pic 9]

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Pasos para calcular, usando la definición, una integral definida

De acuerdo a la dedición precedente, para calcular la integral de Riemann de una función continua y = f (x) en un intervalo [a, b], se debe proceder de la siguiente manera:

Paso 1:   Partición del intervalo. Dividir el intervalo dado en n subintervalos, luego cada uno de ellos tendrá longitud igual a ∆x =   [pic 12][pic 11]

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        Partición del intervalo [a, b] en n subintervalos

        En donde los puntos que delimitan los n subintervalos son:

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Paso 2: Elección de puntos. En cada uno de los n subintervalos se elige un punto arbitrario:

x1 en el primer subintervalo, es decir x1 ∈ [a0, a1]        x2 en segundo subintervalo, es decir x2 ∈ [a1, a2]

xi en i-´ésimo subintervalo, es decir xi ∈ [ai−1, ai],

xn en n-´ésimo subintervalo, es decir xn ∈ [an−1, an],

Para simplificar los cálculos que siguen, normalmente en cada subintervalo se elige el punto de la izquierda, o el punto de la derecha o el punto del medio.

        En el primer caso (punto de la izquierda), xi = ai−1 = a + (i − 1) · ∆x,

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