Suma de Riemann

1.3 Suma de Riemann

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Introducción

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:

La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que:

Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante)

Ejemplos

Ejemplo # 1

Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

,límites

La suma de Riemann representa la suma de las áreas sobre el eje , menos la suma de las áreas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje .

Ejemplo # 2

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente función:

,límites

Ejemplo # 3

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

,límites

Ejemplo # 4

Evaluando la suma de Riemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente función:

,límites

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación

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