Actividad 3 Sumas De Riemann

Actividad 3 Sumas de Riemann

Realiza en un documento de Word lo que se pide en cada punto:

Expresa 〖lim〗┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖[Cos x_i+x_i Tanx_i]∆x〗 como una integral en el intervalo [0, ᴫ]

Solución

Deacuerdo con la definición de integral definida, el límite siempre existe y da el mismo valor. Xi =X

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗=∫_a^b▒〖f(x)dx〗

Considerando lo anterior, podemos escribir la solución de la siguiente manera:

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖[Cos x_i+x_i Tanx_i]∆x〗=∫_0^π▒〖[Cosx+xTanx] dx〗

Expresa el 〖lim〗┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖[ 〖x_i〗^8-〖x_i〗^3+4/3]∆x〗 como una integral en el intervalo [3,9]

Deacuerdo con la definición de integral definida, el límite siempre existe y da el mismo valor. Xi =X

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗=∫_a^b▒〖f(x)dx〗

Considerando lo anterior, podemos escribir la solución de la siguiente manera:

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖[x_i^8-〖x_i〗^3+4/3]∆x〗=∫_3^9▒〖[x^8-x^3+4/3] dx〗

Expresa el 〖lim〗┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖[x_i^(1/2)+lnx_i^3]∆x〗 como una integral en el intervalo [0, 3]

Deacuerdo con la definición de integral definida, el límite siempre existe y da el mismo valor. Xi =X

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗=∫_a^b▒〖f(x)dx〗

Considerando lo anterior, podemos escribir la solución de la siguiente manera:

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖[x_i^(1/2)+lnx_i^3]∆x〗=∫_0^3▒〖[x^(1/2)+lnx^3] dx〗

Realiza en un documento de Word lo que se pide en cada punto

Evalúa las siguientes sumas de Riemann:

Evalúa la suma de Riemann para f(x)=5x-6, en el intervalo [2,5]

Evalúa ∫_2^5▒〖5x-6 dx〗

SOLUCION

Δx está dada por:

∆x=(b-a)/n=(5-2)/n=3/n

Para la i-esima partición o rectángulo

Xi = a + iΔx = 2 + 3/n i

La suma de Riemann está dada por:

∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗=∑_(i=1)^n▒(5x_i-6)∆x=∑_(i=1)^n▒〖[5(2+3/n i)-6](3/n)〗=∑_(i=1)^n▒〖(10+15/n i-6)(3/n)〗=∑_(i=1)^n▒〖(4+15/n i)(3/n)〗=∑_(i=1)^n▒〖(12/n+45/n^2 i)〗=12/n ∑_(i=1)^n▒1+45/n^2 ∑_(i=1)^n▒i=12/n (n)+45/n^2 (n(n+1)/2)=12+45/2 ((n+1)/n)=12+45/2 (1+1/n)=12+45/2+45/2n

Aplicamos el concepto de integral definida

A=∫_a^b▒f(x)dx=lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)〗 ∆x

A=lim┬(n→∞)⁡〖12+45/2+45/2n=lim┬(n→∞)⁡12 〗+lim┬(n→∞)⁡〖45/2〗+45/2 lim┬(n→∞)⁡〖1/n〗=12+45/2+45/2 (0)=12+45/2=69/2=34.5

El área bajo la curva es de 34.5

Evalúa la suma de Riemann para f(x)=x3 – 7 en el intervalo [3,4]

Evalúa ∫_3^4▒〖x^3-7 dx〗

SOLUCION

Δx está dada por:

∆x=(b-a)/n=(4-3)/n=1/n

Para la i-esima partición o rectángulo

Xi = a + iΔx = 3 + 1/n i

La suma de Riemann está dada por:

∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗=∑_(i=1)^n▒(〖x_i〗^3-7)∆x=∑_(i=1)^n▒〖[(3+1/n i)^3-7](1/n)〗=∑_(i=1)^n▒〖(27+27/n i+(9i^2)/n^2 +i^3/n^3 -7)(1/n)〗=∑_(i=1)^n▒〖(20+27/n i+(9i^2)/n^2 +i^3/n^3 )(1/n)〗=∑_(i=1)^n▒〖(20/n+27/n^2 i+(9i^2)/n^3 +i^3/n^4 )〗=20/n ∑_(i=1)^n▒1+27/n^2 ∑_(i=1)^n▒i+9/n^3 ∑_(i=1)^n▒〖i^2+1/n^4 〗 ∑_(i=1)^n▒i^3 =20/n (n)+27/n^2 (n(n+1)/2)+9/n^3 (n(n+1)(2n+1)/6)+1/n^4 ([n(n+1)/2]^(2 ) )=20+27/2 ((n+1)/n)+9/6 ((n+1)(2n+1)/n^2 )+1/4 ([n(n+1)/2]^(2 ) )=20+ 27/2 (1+1/n)+9/6 (2+1/n^2 +3/n)+1/4(1+2/n+1/n^2 )

Aplicamos el concepto de integral definida

A=∫_a^b▒〖f(x)dx=lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗

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