Suma De Riemann

Suma de Riemann

Introducción

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:

La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que:

Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante)

Ejemplos

Ejemplo # 1

Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

,límites

La suma de Riemann representa la suma de las areas sobre el eje , menos la suma de las areas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje .

Ejemplo # 2

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente función:

,límites

Ejemplo # 3

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

,límites

Ejemplo # 4

Evaluando la suma de Riemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente función:

,límites

Medición Aproximada de Figuras Amorfas

Las figuras amorfas, “son aquellas figuras que no tienen forma porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme". y su principal finalidad es encontrar en una grafica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa”.

La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto “n” tiende a cualquier número dado. Existen dos tipos de notación sumatoria: la notación sumatoria abierta y la notación sumatoria pertinente. La suma de riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una series de formulas para una aproximación del área total bajo la grafica de una curva. La integral definida es utiliza para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas, también son llamadas así porque dada una ecuación su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podría decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa función. las propiedades de la integral definida son 10

la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

MEDICIONES APROXIMADAS DE FIGURAS AMORFAS

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.

Para un polígono irregular ( figuras con curvas) trazas diagonales y resuelves por triángulos.

NOTACION DE SUMATORIA

En el estudio del área se trataran sumas de muchos términos, de modo que se introduce una notación, llamada notación sigma, para facilitar la escritura de estas sumas. Esta notación requiere el uso del símbolo ( Σ ),la letra sigma mayúscula del alfabeto griego.

Definición de serie

En matematicás, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como la imagen que se muestra en el costado izquierdo donde n es el índice final de la serie. En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.

Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el concepto de sucesión que se muestra a continuación:

El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un número natural un número real.

Termino de una sucesión: S: NàR

Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera, para ello el alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

Finito

Las series tienen una características fundamental con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.

Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".

Infinito

Una parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la representación de funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de limite en el que se consideran sucesiones.

Suponga que asociada a la sucesión

U1, U2, U3,…, Un,…

Se tiene una “suma infinita” denotada por

U1+ U2 + U3 +…+ Un+…

Pero ¿Qué es lo que significa esta expresión? Esto

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