Introducción al tema de las sumas de Riemann

Introducción al tema de las sumas de Riemann

Bernhard Riemann fue un matemático alemán que desarrollo un método de integración el cual lleva su nombre, varios de sus trabajos sirvieron de base para el desarrollo de la teoría general de la relatividad. Las sumas de Riemann se utilizan para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva.

En que consiste el método de sumas de Riemann para el cálculo de integrales

Consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro del área que se desea calcular (generalmente irregular), se calcula el área de cada rectángulo (entre más angostos mejor) y se realiza la suma de todas las área de todos los rectángulos.

Figura 1

https://search.disconnect.me/image?l=aHR0cHM6Ly9lbmNyeXB0ZWQtdGJuMi5nc3RhdGljLmNvbS9pbWFnZXM/cT10Ym46QU5kOUdjUzlVQlA2MDg2eWFCdGhIcmVfTnI3QnpYMGgzV1BvRHBGQS1nNDhYaHMweC1sTDNUMkg=

Tomado de: www.zweigmedia.com

Definir los siguientes conceptos:

Particiones.- Se refiere a los intervalos que se toman para calcular el área, entre más pequeños mejor pues permitiría un cálculo de área más precisa

Sumas inferiores.- Se refiere a la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran arriba del eje “x”

Sumas superiores.- Se refiere a la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran debajo del eje “x”.

Definición de sumas de Riemann:

“Si f es una función continua definida para el intervalo dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho . Hacemos que sean los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos x1*, x2*,…xn* como los puntos muestras en estos subintervalos, de modo que xi* se encuentra en el i-ésimo . Entonces la integral definida de f, desde a hasta b es: ” (Stewart, 2010)

Figura 2

http://webquest.carm.es/majwq/public/files/files_user/bernardsanz/area_riemann.jpg

Tomada de: webquest.carm.es

Realizar una explicación de la definición geométrica:

El intervalo que nos interesa comienza en el punto a y termina en el punto b. dividimos el área bajo la curva en n intervalos de igual ancho (∆x) y luego procedemos a calcular el área realizando la sumatoria de todos los intervalos (Figura 2) con la expresión:

________________

Dos ejercicios de sumas de Riemann explicados:

Ejemplo 1: Evaluar la suma de Riemann para tomando los puntos muestras de la derecha con 4 intervalos y donde a=0 y b=2.

Procedimiento:

Grafico (Aproximado):

________________

Ejemplo 2: Evaluar

...