Sumas De Riemann

LAS SUMAS DE RIEMANN

PARA DETERMINAR EL ÁREA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA ES NECESARIO EFECTUAR

OPERACIONES YA CONOCIDAS. SIN EMBARGO, CUANDO SE DESEA CALCULA EL ÁREA BAJO LA

CURVA DE UNA FUNCIÓN O UN CONJUNTO DISCRETO DE DATOS EL CÁLCULO SE PUEDE

COMPLICAR MUCHO.

CONSIDEREMOS UN CASO SENCILLO, EL ÁREA BAJO UNA

CONSTANTE, COMO EN LA FIGURA 1.

EN LA FIGURA SE HA REPRESENTADO A LA FUNCIÓN

CONSTANTE (f(x) = y = h) Y SE DESEA CALCULAR EL ÁREA

BAJO LA CURVA EN EL INTERVALO (a, b).

ES FÁCIL NOTAR QUE SE TRATA DE UN RECTÁNGULO Y QUE

CONOCEMOS EL ÁREA DEFINIDA DENTRO DEL RECTÁNGULO.

LA LONGITUD DE LA BASE (b-a) MULTIPLICADA POR LA ALTURA, h, DEL RECTÁNGULO DA COMO

RESULTADO EL ÁREA DEL MISMO: (b-a) x h = A.

CONSIDEREMOS AHORA OTRA FUNCIÓN, POR EJEMPLO UNA RECTA

QUE PASA A TRAVÉS DEL ORIGEN DEL SISTEMA DE

COORDENADAS: f(x) = c x.

COMO PUEDE OBSERVARSE, ES CLARO QUE EL ÁREA QUE SE

BUSCA ES EQUIVALENTE A LA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO,

POR LO QUE EL ÁREA ES [(b-a) x cb]/2 = A O, COMO SUELE

HACERSE EN LA GEOMETRÍA,

A = (BASE x ALTURA) /2. COMO PUEDE OBSERVARSE, EL ÁREA

BAJO LA CURVA (RECTA) SE CALCULA CON FACILIDAD.

CUANDO LA FUNCIÓN DIFIERE DE LA DE UNA RECTA, EL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA CURVA ES

MÁS COMPLICADO Y SE REQUIERE DE LAS SUMAS DE RIEMANN PARA EFECTUAR DICHO

CÁLCULO.

LAS SUMAS DE RIEMANN NOS CONDUCIRÁN AL CONCEPTO DE LA INTEGRAL DEFINIDA COMO EL

ÁREA BAJO LA CURVA EN UN INTERVALO DADO.

HAGAMOS UNA PARTICIÓN REGULAR DE DICHO INTERVALO, PARA OBTENER EL MISMO NÚMERO

DE TRAPECIOS CUYA BASE SEA LA MISMA PARA TODOS. SI DESEAMOS QUE LA PARTICIÓN SEA

DE TAMAÑO 10, ENTONCES, LA ANCHURA DE CADA TRAPECIO SERÁ Dx=(b-a)/10.

LUEGO, ETIQUETEMOS A CADA SEGMENTO DE LA PARTICIÓN EMPEZANDO CON x0=a, Y xi=x0+i

Dx, con i=1, 2, ..., 10 (el ta ma ño de la par ti ción).

A CONTINUACIÓN, SE EVALÚA f(xi) PARA DEFINIR A CADA TRAPECIO QUE SE USARÁ EN EL

CÁLCULO, DE MODO QUE EL ÁREA BAJO LA CURVA SE PODRÁ APROXIMAR SUMANDO LAS

ÁREAS DE TODOS LOS TRAPECIOS CONSTRUIDOS DE ESTE MODO.

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