Aplicaciones de las integrales dobles y triples

República Bolivariana De Venezuela

Universidad Experimental Politécnica

“Antonio José De Sucre”

Matemáticas III

Aplicaciones de las integrales dobles y triples

Profesora:                                                                                                                       Integrantes:

Odilis  López                                                                                                                  Carmen Moreno

                                                                                       Gonzalo Cadenas

                                                                                                                                         Jaime Oswaldo

                                                                                                    Juan De Jesús

                                                                                              Luis Betancourt

                                                                                        Orianna Castro

                                                                                                                                          Sergio Torcat                                            

Puerto Ordaz 16/06/2016

Aplicaciones de las integrales dobles y triples

1) Masa de una lámina de densidad variable.

Supóngase que se tiene una lámina cuya forma es la de una región cerrada R del plano . Sea  la medida de la densidad superficial de la lámina en cualquier punto  de R donde   es continua en R. para calcular la masa total de la lámina se procede como sigue. Sea  una partición de R en n rectángulos. Si ) es cualquier punto del i-ésimo rectángulo que tiene área   unidades cuadradas, entonces una aproximación de la medida de la masa total del i-ésimo rectángulo es , y la medida de la masa total de la lámina esta aproximada por:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

Al tomar el límite de la suma superior, conforme la norma de  tiende a cero, la medida M de la masa de la lámina puede expresarse como:[pic 10]

[pic 11]

Formula (1)

Ejemplo 1: una lámina cuya forma es la de un triángulo rectángulo isósceles  tiene una densidad superficial que varía de acuerdo al cuadrado de la distancia a partir del vértice del ángulo recto. Si la masa se mide en kilogramos y la distancia en metros, calcule la masa.

        Tomando los ejes coordenados de modo que el vértice del ángulo recto este en el origen y los catetos de longitud “a” queden sobre los ejes coordenados (observe figura 1).

[pic 12]

Figura 1

        Sea   kilogramos por metro cuadrado la densidad superficial de la lámina en el punto . Entonces ), donde  es una contante. Por lo tanto, si M kilogramos es la masa de la lámina, se tiene de (1):[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

2) Momentos y centros de masa de una lámina plana de densidad variable

La medida del momento de masa del i-ésimo rectángulo con respecto al eje x esta aproximada por . Entonces la suma de las medidas de los momentos de masa con respecto al eje x de los n rectángulos será aproximada por la suma de n términos de esto. La máxima medida  MX  del momento de masa con respecto al eje x de la lámina completa está dada por:[pic 20]

[pic 21]

        De manera análoga, la medida MY de su momento de masa con respecto al eje y está determinada por:

[pic 22]

Formula (2)

Con las integrales dobles se puede determinar el centro de masa de una lámina homogénea o no homogénea. El centro de masa de la lámina se denota por el punto  donde:[pic 23]

     Y  [pic 24][pic 25]

Ejemplo 2: partiendo del ejemplo 1, se procede a calcular el centro de masa de la lámina.

Observe que, debido a la simetría, este debe estar sobre la recta  . Por lo tanto, si se obtiene , también se obtendrá . De (2):[pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

        Como , entonces ; y debido a que , se obtiene .[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

        El centro de masa se encuentra en el punto .[pic 36][pic 37]

3) Momento de inercia

El momento de inercia también llamado segundo momento de la lámina es una medición de la resistencia al cambio en el movimiento de rotación. Para llegar a la definición de momento de inercia de una lámina, primero considere una partícula de masa  (kilogramos) cuya distancia perpendicular desde un eje es  (metros). El momento de inercia de la partícula con respecto al eje se define como  (kilogramos–metro cuadrado). Entonces el momento de inercia de un sistema de n partículas respecto al eje es la suma de los momentos de inercia de todas las partículas. Estos  es, si la i-ésima partícula tiene de masa (kilogramos) y se encuentra en una distancia (metros) del eje, entonces (kilogramos–metro cuadrado) es el momento de inercia respecto al eje, donde [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

...