Derivada Doble Aplicación

Formulación del problema

La empresa Santa Rosa, desea saber cómo poder obtener el volumen máximo de una de sus estructuras en forma de caja de área superficial 100 cm.

Objetivo a solucionar

Aquí hallaremos las medidas que necesitará la estructura para hacer posible que tenga un volumen máximo

Definición de las variables

Área =(Área de la base)+4*(área de los lados)

Área= 100 cm

V=base de la caja*altura ( V=x^2 * h)

Procedimiento

100=x^2 + 4*x*h V(x)= x^2*h

*Primero conoceremos h

100=x^2 + 4*x*h

h=(100- x^2)/4x

*Segundo reemplazamos en la fórmula de volumen

V= x^2*(100 - x^2)/4x >>>>>>>>> V(x)= (100 - x^3)/4

*luego aplicamos la primera derivada.

V´(x) = (10-3*x^2)/16

*después igualamos a cero para hallar los puntos críticos.

(10-3*x^2)/16= 0

x=10/3 >>> x= 3.33

*Tercero aplicamos la segunda derivada y reemplazamos el valor si es

necesario para saber si es máximo o mínimo.

V’'(x) = - (6*x)/216 >>>>>>> - x/36

*reemplazando x en la segunda derivada

V’’ (3.33) = - (3.33)/36 >>>>>>>> - 0.0925

*Cómo es negativo entonces el resultado en el punto x=3.33 es máximo

Reemplazando valores en la función

*Reemplazamos x=1.5 en la función V(x)=, para hallar el volumen máximo

*Para esto hallaremos h primero

h(x)= (100- x^2)/4x

h(x)=(100-(3.33)^2)/4*3.33 >>>>>> (100-11.0889)/13.32= >>>> h= 6.675

V(3.33)= x^2*h

V(3.33) = (3.33)^2 * 6.675

V(3.33) = 74.0184075

Objetivos y resultados

Se necesitará tener de área en la base un tamaño de 3.33 cm de largo y 3.33 cm de ancho con una altura de 74.01 cm para obtener el volumen máximo de capacidad de la caja

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