Aplicación De Las Derivadas

Introducción:

En un mundo de cambios e intereses de hacer todo por el menor costo (ya sea monetario e humano), hacer más eficientes los procesos, ya sean de: fabricación de herramientas, acerrado de manera, distribución de trabajo, horas de máxima afluencia, etc, es la manera en que las empresas optimizan su producción y por ende generar más ingresos. El tema escogido se encarga de que por medio de las derivadas y funciones, hallar matemáticamente cual es el método para poder obtener el máximo beneficio. Se explicara los pasos a seguir y porque se aplicándolo se llega a obtener las eficiencias de dichos procesos.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

1-. Recta tangente

1.1-.Pendiente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

1.2-.Ecuación de la recta tangente

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

2. Recta normal

2.1-.Pendiente

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

2.2-.Ecuación de la recta normal

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

3-.Crecimiento y decrecimiento

3.1-.Crecimiento

Si f es derivable en a:

3.2-.Decrecimiento

Si f es derivable en a:

3.3-.Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

a. Derivar la función.

f '(x) = 3x2 −3

b. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

c. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

d. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.

f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.

f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

e. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞)

De decrecimiento: (−1,1)

4-.Máximos y mínimos

4.1-.Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

a. f'(a) = 0

b. f''(a) < 0

4.2-.Mínimos

Si f y f' son derivables en a, es un mínimo relativo o local si se cumple:

a. f'(a) = 0

b. f''(a) > 0

4.3-.Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

a. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

b. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

c. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

5-. Concavidad y convexidad

5.1-.Estudio de los intervalos de concavidad y convexidad

f(x) = x3 − 3x + 2

a. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.

b. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

c. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es cóncava.

Si f''(x) < 0 es convexa.

Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.

f''(−1) = 6(−1) < 0 Convexa.

Del intervalo (0, ∞) tomamos x =1, por ejemplo.

f''(1) = 6 (1) > 0 Cóncava.

d. Escribimos los intervalos:

Concavidad: (0, ∞)

Convexidad: (− ∞, 0)

6-.Cálculo de los puntos de inflexión

f(x) = x3 − 3x + 2

a. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

b. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

c. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

Cálculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidad y convexidad

Los puntos de inflexión son los puntos de la función en que ésta pasa de cóncava a convexa o viceversa.

7-. TEOREMAS

7.1-.Teorema de Rolle

El teorema de Rolle dice que:

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Ejemplos

1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

7.2-. Teorema de Lagrange

7.2-.Teorema del valor medio

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:

...