Aplicacion De Las Derivadas

FUNCIÓN

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática).

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Por otra parte, una función matemática es la correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de A están relacionados con los elementos de B) y con la condición de unicidad (cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B).

"exactamente uno" significa que la función es univaluada. No devolverá 2 o más resultados para la misma entrada. ¡Así que "f(2) = 7 o 9" no vale!

Cada elemento de "X" se relaciona con un elemento de "Y". Decimos que la función cubre"X" (relaciona cada elemento de)

También fíjate que en el dibujo de arriba hay dos elementos en "X" que se relacionan con el mismo elemento de "Y". No pasa nada. No hay ninguna regla contra esto.

Y finalmente, fíjate en que algunos elementos de "Y" no se relacionan con nada. Eso también vale.

OPERACIÓN CON FUNCIONES

Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego su esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos la composición de funciones y la función inversa de una función; estos dos conceptos composición e inversión de funciones- son importantes en el desarrollo del Cálculo.

SUMA:

Sean f y g dos funciones y supongamos que D y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f + g está definida por (f + g )(x) = f(x) +g(x)

RESTA

Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f - g está definida por (f – g)(x) = f(x) - g(x)

MULTIPLICACIÓN

Sean f y g dos funciones y Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f ⋅ g está definida por (f ⋅ g)(x) = f(x)⋅ g(x)

DIVISIÓN

Sean f y g dos funciones y Df Dg sus dominios respectivamente. Entonces la función f/g está definida por: (f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0

DEFINICIÓN.

Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones:

i. SUMA:

ii. DIFERENCIA:

iii. PRODUCTO:

iv. COCIENTE:

NOTA:

En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g".

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir (Ver fig. 13.).

El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g

Definición.

Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función

g o f :

Asi por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:

y

Entonces:

Del ejemplo anterior se deduce facilmente que en general:

(g o f)(x)  (f o g)(x).

Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.

Esto es, D(f) =

Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:

; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + )

Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO.

Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO.

También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.

Es decir, D(g) = [0, + ).

Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:

D(f o g) = [0, + ).

En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.

Asi por ejemplo, la función: puede escribirse en las formas:

P(x) = (g o f)(x) siendo y

P(x) = (g o f)(x) siendo y

En efecto, en el primer caso, y, en el segundo.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La composición es una operación entre funciones que se establece de la

Siguiente manera:

Dadas dos funciones f y g , se define como la composición de la función

F con la función g , a la función denotada f Dg ( léase f composición g ),

Cuya regla de correspondencia es

( ) F Dg x f gx ( ) () = [ ]

Donde su dominio está representado por el conjunto

D xx D g x D fg f D

=∈

g

; () }

Para obtener la regla de correspondencia de la función f Dg , según la definición anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la función f .

Así por ejemplo, sean las funciones 2

fx x ()4 1 = − y g ( ) x x = , entonces,

la regla de la función f Dg se obtiene mediante la siguiente sustitución

( ) f Dg x f gx ( ) () = [ ] , por lo que

( ) f gx f x ( ) =     D , entonces

( ) fg x x D ()4 1

Los elementos del conjunto de partida X se llaman orígenes y los del conjunto de llegada Y se llaman imágenes.

Una aplicación debe entenderse como cualquier ley que asocie elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto, sin más condiciones. Este concepto debe refinarse hasta llegar al de función matemática.

La idea que subyace en el núcleo central del concepto de función, es la de relación de dependencia entre magnitudes o variables. Al estudiar un fenómeno cualquiera, se suele observar que las magnitudes o cantidades que intervienen presentan una relación entre ellas, de forma que una de las magnitudes depende de la otra. La expresión analítica de esa relación de dependencia es la función.

Una funciónmatemática es una aplicación entre dos conjuntos numéricos de forma que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto:

f : X Y

x -> y = f(x)

Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se le llama Imagen.

Se debe cumplir:

a) todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y

b)a cada elemento x X le corresponde un único elemento y Y

A la variable x se le llama variable independiente, mientras que a la variable y se le denomina variable dependiente.

Fenómeno es todo aquello que podemos observar y en el que suelen intervenir varias variables. Si en un fenómeno en el que intervienen dos variables, una de ellas depende de la otra, diremos que hay establecida una relación funcional entre ellas.

Podemos comparar una función f(x) con una máquina a la cuál se le introduce un valor x y después de una serie de cálculos, ésta devuelve el valor de f(x):

Una función, en suma, es la expresión de la relación de dependencia entre dos variables que, por medio de una regla, asigna a cada valor de la variable independiente x un único valor de la variable dependiente

y. Se expresa mediante la fórmula abstracta:

y = f(x) donde que se lee "y es función de x"

Si la función está dada a través de su fórmula, se puede calcular el dominio analíticamente en caso sencillos. Consideraremos siempre que el dominio es el conjunto más grande de valores de x para los cuáles la función existe, es decir, las operaciones que aparecen en la fórmula tienen sentido y están bien definidas. Cuando en una fórmula aparezcan cocientes, hay que asegurar que el denominador no se anule. Si aparece alguna raíz de índice par, hay que asegurar que el radicando es mayor o igual que 0. Si en la fórmula interviene algún logaritmo, se debe imponer que el argumento del logaritmo sea estrictamente mayor que 0.

COMBINACIÓN DE FUNCIONES

Así como los números pueden ser combinados de diferentes maneras, las funciones

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