Aplicación de la derivada

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada

Resuelve los siguientes ejercicios:

Dada la función:

Muestre que . ¿Existe ?

La derivada es un límite que para que exista debe ser un número finito y coincidir por la derecha y la izquierda. Entonces por definición de la derivada es para este ejercicio es

lim┬(h→0)⁡〖(f(0+h)-f(0))/h〗=lim┬(h→0)⁡〖(f(h))/h〗

Esos límites se pueden calcular de acuerdo con las reglas de derivación de la función potencial y son:

f´(x)={█(〖-4x〗^3 si x≤0@〖4x〗^3 si x>0)┤

Y en x=0 los límites izquierdo y derecho coinciden

f_+^´ (0)=lim┬(h→0^+ )⁡〖(f(h))/h〗=lim┬(h→0^+ )⁡〖〖4h〗^3/h〗=lim┬(h→0^+ ) 〖4h〗^2=0

f_-^´ (0)=lim┬(h→0^- )⁡〖(f(h))/h〗=lim┬(h→0^- )⁡〖〖-4h〗^3/h〗=lim┬(h→0^- ) 〖-4h〗^2=0

y valen 0, luego

f'(0) = 0

La derivada segunda es

f´´(x)={█(〖-12x〗^2 si x≤0@〖12x〗^2 si x>0)┤

Luego en x=0 coinciden los límites izquierdo y derecho

f_+^(´´) (0)=lim┬(h→0^+ )⁡〖(f(h))/h〗=lim┬(h→0^+ )⁡〖〖12h〗^2/h〗=lim┬(h→0^+ ) 12h=0

f_-^(´´) (0)=lim┬(h→0^- )⁡〖(f(h))/h〗=lim┬(h→0^- )⁡〖〖-12h〗^2/h〗=lim┬(h→0^- )-12h=0

f''(0) = 0

Y la tercera viene de

f´´´(x)={█(-24x si x≤0@24x si x>0)┤

Que tiene el mismo límite en x=0

f_+^(´´´) (0)=lim┬(h→0^+ )⁡〖(f(h))/h〗=lim┬(h→0^+ )⁡〖24h/h〗=0

f_-^(´´´) (0)=lim┬(h→0^- )⁡〖(f(h))/h〗=lim┬(h→0^- )⁡〖(-24h)/h〗=0

f'''(0) = 0

Pero la derivada cuarta es

f´´´(x)={█(-24 si x≤0@24 si x>0)┤

Luego en x=0 tiene valores distintos por la izquierda y la derecha

f_+^(´´´´) (0)=lim┬(h→0^+ )⁡〖(f(h))/h〗=lim┬(h→0^+ )⁡〖24/h〗=∞

f_-^(´´´´) (0)=lim┬(h→0^- )⁡〖(f(h))/h〗=lim┬(h→0^- )⁡〖(-24)/h〗=-∞

y entonces por lo tanto f^IV (x)=∄ no existe.

Considere la función:

Hallar el valor de y para que exista.

Por un teorema que menciona que si una función es derivable en un punto es continua en él.

Luego pondremos la condición de que sea continua, para ello el límite por la izquierda de la función debe ser el mismo que por la derecha.

〖3 〗^2- 4(3) + 8 = 3a + b

Tenemos a

3a+b = 5...(1)

Y la derivada de la función por la izquierda en x=3 también debe ser igual que por la derecha

2x - 4 = a

2(3) - 4 = a

a = 2

Sustituyendo este valor a la ecuación …(1)

3(2)+ b = 5

b = 5 - 6=-1

Luego los valores son

a=2

b=-1

Supóngase que y que , ¿Cuál es el valor de ?

La evaluación de dicho limite 0/0

Por definición de derivada

f´(x_0 )=lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗

Pero si f´(x_0 )=6 evaluamos este valor en la definición de derivada

...