Aplicaciones De La Derivada

Aplicaciones de la Derivada

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

• Ecuación de la recta tangente y normal de una curva en un punto.

Recta Tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la Recta Tangente

La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Recta Normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

• Elabore un ejercicio de derivada para calcular la pendiente de rectas tangentes a una curva en puntos dados.

Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

f′(x) = 1 + tg² x f′(0) = 1 = m

y = x

α = arc tg 1 = 45º

• Elabore un ejemplo de aplicación de las curvas ortogonales, en el cual se pueda determinar si las curvas son ortogonales en su punto de intersección.

5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.

• Investigue en qué consiste el Teorema de Rolle

Considere una función valorada real que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) tal que el valor de la función es igual en los extremos finales.

Dado que es diferenciable en el intervalo abierto (a, b), por tanto, puede tener tangentes en varios puntos de la gráfica de la función.

Sin embargo, habrá al menos un punto en la gráfica donde la tangente será paralela al eje X y por tanto su pendiente será 0.

Esta es la afirmación del Teorema de Rolle.

El Teorema de Rolle afirma que si f es una función valorada real la cual es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferencial en el intervalo abierto (a, b) tal que f (a) = f (b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) donde la pendiente de la tangente trazada en ese punto es 0.

El Teorema de Rolle se limita a la condición de que el valor de la función en los puntos extremos del intervalo deben ser iguales.

Por ejemplo: el Teorema de Rolle no es válido para la función g(x) = | x |, donde x Є [−1, 1], porque en x = 0, g(x) no puede ser diferenciada lo cual desafía una de las condiciones necesarias para su existencia.

• Elabore un ejemplo de aplicación del teorema de Rolle en funciones definidas en un cierto intervalo, explicando su interpretación geométrica.

Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.

f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.

Además se cumple que:

f(−1) = f(0) = f(1) = 0

Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

• Investigue en qué consiste el Teorema del valor medio del cálculo diferencial.

Según este teorema, si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) tal que la pendiente de la tangente en ese punto es igual a

De acuerdo con la definición geométrica, si f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), la pendiente de la recta que une (a, f(a)) y (b, f(b)) es f(b)-f(a)/b-a y f'(c) es la pendiente de la tangente (c, f(c)) para la gráfica de y = f(x).

Entonces el teorema de valor medio dice que si la curva es continua y = f(x) tiene una tangente en cada punto (x, f(x)) para a<x<b, entonces para algún punto (c, f©), donde a<c<b, la tangente a la curva es paralela a la línea que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) en la curva.

En este caso, siempre podemos encontrar el punto c \ en (a, b) tal que

= f'(c).

• Elabore un ejemplo de aplicación del teorema del valor medio del cálculo diferencial mediante una función definida en cierto intervalo y explique su interpretación geométrica

En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.

Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x2 + bx + c.

Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].

5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.

• Elabore un ejemplo donde se pueda determinar a través de la derivada cuando una función es creciente y cuando decreciente en un intervalo.

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) = (x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1.

La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)2.

Como (x − 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además − 2 < 0entonces f'(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función:

• Investigue los conceptos de puntos máximo, punto mínimo, punto de inflexión de una función

Máximos y mínimos de una función:

Se dice que una función tiene un valor máximo en el punto v, cuando el valor de f(v) es mayor que el valor en cualquiera de los puntos vecinos.

Del mismo modo, cuando el valor es menor que el valor en sus puntos vecinos, entonces

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