Derivadas Y Su Aplicacion

APLICACIÓN DEL CALCULO DIFERENCIAL EN LA INGENIERÍA DE SISTEMAS

ALVARO JAVIER HERNANDEZ

Tutor:

MOISES QUINTANA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE BOLÍVAR

SEDE CARLOS VELEZ POMBO

CALCULO I

CARTAGENA

2013

Un fabricante vende x artículos por semana a un precio unitario p que depende de x, según la expresión:

p(x)=200 - 0.01x p en $

El costo total de producción de x artículos es: C(x)= 50x + 20000 $/sem

Se le pide a un ingeniero de sistemas que haga un programa que imprima y calcule:

a) el número de artículosque el fabricantedebeproducirparaobtener máxima ganancia y el correspondiente precio de venta por unidad.

b) Supongamos que el estado fija un impuesto de $10 por cada unidad vendida permaneciendo invariables las otras condiciones.

Que parte del impuesto debe absolver el fabricante y cual debe transmitir al comprador para obtener máxima ganancia?

Comprar las ganancias antes y después de establecido el Impuesto

SOLUCION.

a) Precio unitario: p(x)= 200 – 0.01x $

Costo total: C(x)= 50x + 20000 $

La ganancia G del fabricante será:

G = I – C (Ganancia = Ingreso – Costo)

El ingreso obtenido por la venta de x artículos por semana se obtiene multiplicando el precio unitario p por el número de artículos vendidos semanalmente x.

I(x)= p.x = 200x – 0.01x2 $/sem

Finalmente entonces:

G(x)=(200x – 0.01x2) – 50x+20000

G(x)= – 0.01x2 + 50x + 20000 $/sem x > 0

Como podemos observar la función ganancia es una simple función cuadrática con concavidad negativa. Basta que verifiquemos que el vértice corresponde al máximo de la función en el intervalo [0, + ∞] para lo cual su abscisa deberá ser: > 0.

Derivando: = -0.02x + 150

Anulando: x = 7500 unidades / sem

En consecuencia para maximizar sus ganancias, el fabricante deberá vender 7500 unidades / sem.

El precio correspondiente será:

p(7500) = 200- 0,01.(7500) = 125

p = 125 $ / unidad

b). Al establecerse un impuesto de 10 $/unidad tendremos una nueva función ganancia G1 tal que G1(x)= – 0,01x2 + 150x - 20000 – 10x

G1(x)=– 0,01x2 + 140x – 20000

Repitiendo para esta función lo hecho en la parte a) del ejercicio:

= -0.02x + 140

Anulando: x = 7000 unidades / sem

El nuevo precio será:

P(7000)= 200 – 0,01.(7000)= 130

P= 130 $ / unidades.

El precio de venta ha aumentado $ 5.00 lo que te está indicando que para obtener máxima ganancia el fabricante

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