Aplicaciones De La Derivada

Cálculo con Geometría Analítica

Denis G. Zill

Grupo Editorial Iberoamérica S.A de C.V

Edición 000813

México D,F; Diciembre del 2002

Numero de páginas: 1014

Aplicaciones de la Derivada

La derivada es una razón de cambio. Geométricamente, tal razón de cambio es la pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función. En la sección 4.1 se explicara con mas detalles un concepto discutido brevemente en la sección 3.1; a saber, la razón de cambio con respecto al tiempo de una función que da la posición de un objeto en movimiento es la velocidad del objeto. Sin embargo, en la sección 4.2 se vera que una razón de cambio con respecto al tiempo tiene otras interpretaciones. La noción de razón, junto con el problema de encontrar los valores máximo y mínimo de una función, son los temas centrales de estudio en este capítulo.

4.1 Movimiento rectilíneo y la derivada.

En la sección 3.1 se llamo movimiento rectilíneo al de un objeto en línea recta, bien sea horizontal o vertical. A una función S que proporcione la coordenada del objeto sobre dicha recta se le llama función de posición. La variable T representa el tiempo y S (T) es una distancia dirigida que se mide en centímetros, metros, pies, millas, etc., desde un punto de referencia S = 0. Recuérdese que es una escala horizontal se considera positiva la dirección S hacia la derecha de S = 0, y es una escala vertical, la dirección S hacia arriba.

4.2 Razones de cambio relacionadas

La derivada dy = f(X) es su razón de cambio es instantánea con respecto a la variable X. cuando una función describe posición o distancia, entonces su razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta con la velocidad. En general, una razón de cambio (o intensidad de variación) con respecto al tiempo es la respuesta a la pregunta“¿cuan rápido varia una cantidad?” por ejemplo, si V representa un volumen que varia o cambia en el tiempo, entonces dv/dt es la razón o la rapidez, a la cual esta variando el volumen con respecto al tiempo T. Una razón de, por ejemplo, dV/dT = 10 cm3/S, significa que el volumen esta aumentando 10 cm3 cada segundo.

4.3 Extremo de funciones

Extremos absolutos

Supóngase que una función f esta definida en un intervalo I. Los valores máximos y mínimos de f en I (si hay algunos) se llaman extremos de la función. En las dos siguientes definiciones, se distinguen dos clases de extremos.

(i) Un número f(c1) es un máximo absoluto de una función f si f(x) ≤ f(c1) para todo x en el dominio de f.

(ii) Un número f(c1) es un mínimo absoluto una función f si f(x) ≥ f(c1) para todo x en el dominio de f.

4.4 Teorema de Rolle y teorema del valor medio

Cuando y es igual a f(x) es continua y diferenciable en un intervalo (a, b), parece razonable que si f(a) = f(b) =

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