Aplicacion De La Derivada

Aplicaciones geométricas.

Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta

y =-3x -2 La pendiente de esta recta es m= -3

f'(a) = 2a – 5 2a − 5 = −3 a = 1

El punto de tangencia es P(1, 2)

La recta tangente es y − 2= -3 (x − 1) y = -3x + 5

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplo:Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 y paralela a la bisectriz del primer cuadrante (recta y = x ).

La pendiente de la recta dada es m = 1

f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente: y − 1 = x y = x +1

Recta normal: y − 1 = −x y = −x + 1

Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento

Si f es derivable en a:

Decrecimiento

Si f es derivable en a:

Extremos:

Tenemos un máximo en x=a si

-La función existe en ese punto.

-En x=a la función pasa de ser creciente a decreciente.

Tenemos un mínimo en x=a si

-La función existe en ese punto.

-En x=a la función pasa de ser decreciente a creciente.

Ejemplo1 : Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función.

f '(x) = 3x2 −3

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.

f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.

f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞)

De decrecimiento: (−1,1)

¿Dónde se encuentran los máximos y mínimos de esta función?

Ejemplo2 : Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

¿Dónde se encuentran los máximos y mínimos de esta función?

Optimización de funciones

Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

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