Aplicaciones De Las Derivadas

Aplicaciones de la Derivada

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Extremos relativos

La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aun cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.

f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.

Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.

Extremos absolutos

Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:

f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.

f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.

La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.

NOTA. Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención.

Aplicaciones de máximos y mínimos: Problemas de optimización

Solucionamos problemas de optimización con la forma siguiente: Determine los valores de las incógnitas x, y, . . . para minimizar (o maximizar) el valor de la función objetivo f, sujeta a algunas restricciones. Las restricciones son ecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y, . . .

Aceleración, concavidad, y la derivada segunda

Aceleración

La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición.

Concavidad

Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo, o viceversa, se llama un punto de inflexión. A un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.

Análisis de las gráficas

Podemos utilizar a tecnología para trazar una gráfica, pero necesitamos a cálculo para comprender lo que estamos viendo.

Elasticidad de demanda

La elasticidad de demanda, E, es la tasa porcentual de disminución de la demanda por aumento porcentual en el precio. Su ecuación es:

Donde la ecuación de demando expresa demando, q, como una función del precio unitario,

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